Batch Normalization梯度反向传播推导

最近在看CS231N的课程，同时也顺带做配套的作业，在Assignment2 中关于Batch Normalization的具体数学过程则困惑了很久，通过参看一些博客自己推导了一遍，供大家参考。

Batch Normalization

首先，关于Batch Normalization的具体实现过程就不在此介绍了，想了解的可以参看论文或者博客。

对于Batch Normalization的前向传播可以参看下图的过程，它主要思路就是将每个Batch的输入根据均值μB 和方差2B 进行归一化，然后再进行尺度缩放到yi



对于前向传播网络，可以很直观的给出实现代码

def batchnorm_forward(x, gamma, beta, bn_param):
"""
Input:
- x: (N, D)维输入数据
- gamma: (D,)维尺度变化参数
- beta: (D,)维尺度变化参数
- bn_param: Dictionary with the following keys:
- mode: 'train' 或者 'test'
- eps: 一般取1e-8~1e-4
- momentum: 计算均值、方差的更新参数
- running_mean: (D,)动态变化array存储训练集的均值
- running_var：(D,)动态变化array存储训练集的方差

Returns a tuple of:
- out: 输出y_i（N，D）维
- cache: 存储反向传播所需数据
"""
mode = bn_param['mode']
eps = bn_param.get('eps', 1e-5)
momentum = bn_param.get('momentum', 0.9)

N, D = x.shape
# 动态变量，存储训练集的均值方差
running_mean = bn_param.get('running_mean', np.zeros(D, dtype=x.dtype))
running_var = bn_param.get('running_var', np.zeros(D, dtype=x.dtype))

out, cache = None, None
# TRAIN 对每个batch操作
if mode == 'train':
sample_mean = np.mean(x, axis = 0)
sample_var = np.var(x, axis = 0)
x_hat = (x - sample_mean) / np.sqrt(sample_var + eps)
out = gamma * x_hat + beta
cache = (x, gamma, beta, x_hat, sample_mean, sample_var, eps)
running_mean = momentum * running_mean + (1 - momentum) * sample_mean
running_var = momentum * running_var + (1 - momentum) * sample_var
# TEST：要用整个训练集的均值、方差
elif mode == 'test':
x_hat = (x - running_mean) / np.sqrt(running_var + eps)
out = gamma * x_hat + beta
else:
raise ValueError('Invalid forward batchnorm mode "%s"' % mode)

bn_param['running_mean'] = running_mean
bn_param['running_var'] = running_var

return out, cache

上述代码基于CS231N Assignment2，值得注意的是Batch Normalization对于在训练和测试阶段的计算方法不一样，因为训练阶段的均值和方差是基于一个Batch的数据，而测试阶段是基于整个训练集求得。

梯度反向传播

Batch Normalization最让人头疼的就是理清楚反向传播梯度并写成代码，当然它依然遵循链式求导法则。首先我们基于上图，将变量定义如下：

σ 为一个batch所有样本的方差

μ 为样本均值

xˆ 为归一化后的样本数据

yi 为输入样本xi 经过尺度变化的输出量

γ 和β 为尺度变化系数

∂L∂y 为已知，并假设x 和y 都为（N，D）维，即有N个维度为D的样本

由于网络正向传播是根据γ β 和xˆ 将xi 变换为yi ，那么反向传播则是根据∂L∂yi 求得∂L∂γ ∂L∂β 和∂L∂xi 。

∂L∂γ=∑i∂L∂yi∂yi∂γ=∑i∂L∂yixˆi

∂L∂β=∑i∂L∂yi∂yi∂β=∑i∂L∂yi

上面两个式子都涉及到Batch中的N个样本的累加，因为N个样本的yi 对β γ 都有影响。

直接求∂L∂xi 步骤比较长，不直观，且μ(x) 、σ(x) 、xˆ(x) ，因此我们首先求∂L∂xˆ 、∂L∂μ 和∂L∂σ :

∂L∂xˆ=∂L∂y∂y∂xˆ=∂L∂yγ

∂L∂σ=∑i∂L∂yi∂yi∂xˆi∂xˆi∂σ=−12∑i∂L∂xiˆ(xi−μ)(σ+ε)−1.5

∂L∂μ=∂L∂xˆ∂xˆ∂μ+∂L∂σ∂σ∂μ=∑i∂L∂xˆi−1σ+ε−−−−−√+∂L∂σ−2Σi(xi−μ)N

下面，就可以求 ∂L∂xi 啦：

∂L∂xi=∂L∂xiˆ∂xiˆ∂xi+∂L∂σ∂σ∂xi+∂L∂μ∂μ∂xi=∂L∂xˆi1σ+ε−−−−−√+∂L∂σ2(xi−μ)N+∂L∂μ1N

在上面的式子中我写成∂L∂xi 而不是∂L∂x 是为了方便理解，当然在代码中我们会表示成后者以提高计算速度。至此，我们就完成了Batch Normalization的梯度反向传播的全过程，并得到论文给出的结果：



下面，我们就根据上面的步骤来完成代码：

def batchnorm_backward(dout, cache):
"""
Inputs:
- dout: 上一层的梯度，维度(N, D)，即 dL/dy
- cache: 所需的中间变量，来自于前向传播

Returns a tuple of:
- dx: (N, D)维的 dL/dx
- dgamma: (D,)维的dL/dgamma
- dbeta: (D,)维的dL/dbeta
"""
x, gamma, beta, x_hat, sample_mean, sample_var, eps = cache
N = x.shape[0]

dgamma = np.sum(dout * x_hat, axis = 0)
dbeta = np.sum(dout, axis = 0)

dx_hat = dout * gamma
dsigma = -0.5 * np.sum(dx_hat * (x - sample_mean), axis=0) * np.power(sample_var + eps, -1.5)
dmu = -np.sum(dx_hat / np.sqrt(sample_var + eps), axis=0) - 2 * dsigma*np.sum(x-sample_mean, axis=0)/ N
dx = dx_hat /np.sqrt(sample_var + eps) + 2.0 * dsigma * (x - sample_mean) / N + dmu / N

return dx, dgamma, dbeta

附：两个有用的博客 这里 和 这里