UVA 11426 GCD - Extreme (II)（欧几里得定理+欧拉函数）

解这道题，需要以下几步：

1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);

2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。

gcd(x,n)=i是n的约数（x＜n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。

而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于phi(n/i)

phi(x)为欧拉函数。

3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表

用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。

代码如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 4000010;
bool check[MAXN+10];
int phi[MAXN+10];
int prime[MAXN+10];
int tot;
void phi_and_prime_table(int N)
{
memset(check,false,sizeof(check));
phi[1] = 1;
tot = 0;
for(int i = 2; i <= N; i++)
{
if( !check[i] )
{
prime[tot++] = i;
phi[i] = i-1;
}
for(int j = 0; j < tot; j++)
{
if(i * prime[j] > N)break;
check[i * prime[j]] = true;
if( i % prime[j] == 0)
{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
else
{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
}
}
}
}

ll f[MAXN],s[MAXN];

int main()
{
phi_and_prime_table(MAXN);
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1; i<=MAXN; i++)
for(int j=i+i; j<=MAXN; j+=i)
f[j]+=i*phi[j/i];
memset(s,0,sizeof(s));
s[1]=0;
for(int i=2; i<=MAXN; i++)
s[i]=s[i-1]+f[i];
int n;
while(~scanf("%d",&n)&&n)
{
printf("%lld\n",s
);
}
return 0;
}