GCD - Extreme (II) UVA - 11426 (欧拉函数)
2017-07-27 17:10
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题目描述:输出G =∑GCD(i, j) 其中 1 <= i < j <= n。(蓝书P124)
思路:这道题的思路特别巧妙,我看蓝书看了好久才能自己推明白,然后又去看了欧拉函数才能自己写出来。设F(n) = gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n - 1, n)。则题中所求可以转化为S(n) =∑F(i) 其中1 < i <= n。右递推式可知S(n) = S(n - 1) + F(n),那么问题的关键变成了求F(n), gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n - 1, n)这些数值都是n的约束,里面可能定有相同的数字,我们可以设g(n, i)
代表与n的最大公约数为i且小于n的所有x的数量,即对于任意的x,满足gcd(x, n) = i。则F(n) = ∑(g(n, i) * i),其中i是n的约数。g(n, i) 的充要条件是gcd(x / i, n / i) = 1,而这样的x的数量恰好是欧/拉函数phi(n / i)的定义:小于n / i且与n / i互质的数的数目。这样思路就很明确了,首先打表求出所有的phi值,然后利用phi值求出所有的F值,最终得到所求的Sum值,打表输出。
代码如下:
思路:这道题的思路特别巧妙,我看蓝书看了好久才能自己推明白,然后又去看了欧拉函数才能自己写出来。设F(n) = gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n - 1, n)。则题中所求可以转化为S(n) =∑F(i) 其中1 < i <= n。右递推式可知S(n) = S(n - 1) + F(n),那么问题的关键变成了求F(n), gcd(1,n) + gcd(2,n) + ... + gcd(n - 1, n)这些数值都是n的约束,里面可能定有相同的数字,我们可以设g(n, i)
代表与n的最大公约数为i且小于n的所有x的数量,即对于任意的x,满足gcd(x, n) = i。则F(n) = ∑(g(n, i) * i),其中i是n的约数。g(n, i) 的充要条件是gcd(x / i, n / i) = 1,而这样的x的数量恰好是欧/拉函数phi(n / i)的定义:小于n / i且与n / i互质的数的数目。这样思路就很明确了,首先打表求出所有的phi值,然后利用phi值求出所有的F值,最终得到所求的Sum值,打表输出。
代码如下:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<queue> #include<cstdlib> #include<sstream> #include<deque> #include<stack> #include<set> #include<map> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; const double eps = 1e-6; const int maxn = 4000001 + 50; const int mod = 10; const int dx[] = {1, -1, 0, 0, -1, -1, 1, 1}; const int dy[] = {0, 0, -1, 1, -1, 1, -1, 1}; const int Dis[] = {-1, 1, -5, 5}; const double inf = 0x3f3f3f3f; int n, m, k; ll phi[maxn]; ll f[maxn]; ll sum[maxn]; void phi_table(){//打表求出欧拉函数phi的值 memset(phi, 0, sizeof phi); phi[1] = 1; for(int i = 2; i < maxn; ++i)if(!phi[i]){ for(int j = i; j < maxn; j += i){ if(!phi[j]) phi[j] = j; phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); } } } void init(){ phi_table(); memset(f, 0, sizeof f); for(int i = 1; i < maxn; ++i){//利用hi求出F值 for(int j = i + i; j <maxn; j += i){ f[j] += i * phi[j / i]; } } sum[1] = 0; for(int i = 2; i < maxn; ++i){//打表求出所有的sum值 sum[i] = sum[i - 1] + f[i]; } } int main(){ init(); while(~scanf("%d", &n) && n){ printf("%lld\n", sum ); } return 0; }
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