莫比乌斯反演 学习笔记
2017-03-27 21:46
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预备知识
枚举除法
⌊ni⌋只有O(n√)种取值并且对于i,⌊n⌊ni⌋⌋是i被n除并下取整取值相同的一段区间的右端点
一个非常有用性质:
⌊nab⌋=⌊⌊na⌋b⌋=⌊⌊nb⌋a⌋
积性函数
f(ab)=f(a)f(b),(a,b)=1完全积性函数:不要求ab互质。
若函数f(n)为积性函数,那么
f(n)=∏if(pkii)
并且由于f(a∗1)=f(a)∗f(1)
可以得出f(1)=1
常见函数
id(n)=ne(n)=[n=1]
1(n)=1
d(n)=n的约数数量
σ(n)=n所有约数的和
除了最后一个其余都是积性函数
狄利克雷卷积
对于算术函数f(n),g(n),定义其狄利克雷卷积(f×g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)
比如说一个公式n=∑d|nφ(d)就可以表示为:id=φ×1
狄利克雷卷积的运算满足:
(1)交换律:f×g=g×f
(2)结合律:(f×g)×h=f×(g×h)
(3)分配律:f×(g+h)=f×g+f×h
几个性质:
1、存在单位函数e满足f=f×e=e×f
可以根据卷积的定义理解一下,枚举n的约数时,只有当d=n时e(nd)=1
2、如果f,g都为积性函数,那么f×g也为积性函数
莫比乌斯函数μ
定义
(1)若d=1,那么μ(d)=1(2)若d=p1p2..pk,pi均为互异素数,那么μ(d)=(−1)k
(3)其他情况下,μ(d)=0
显然,μ为积性函数。
性质
[n=1]=∑d|nμ(d)即1×μ=e
不会证明…
莫比乌斯反演
公式
F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数若满足条件F(n)=∑d|nf(d)
那么可以得出结论f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
即已知F=f×1
则f=μ×F
证明
利用狄利克雷卷积证明莫比乌斯反演公式1° 已知F=f×1,两边同乘μ得F×μ=f×1×μ
2° 1×μ=e,那么F×μ=f×e
3° 又因为f×e=f,得出f=μ×F
证毕
另一个公式
F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数若满足条件F(n)=∑n|df(d)
那么可以得出结论f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)
似乎这个公式在做题的时候更常用些
因为反演的题gcd用的比较多…
化式子常用技巧
∑i=1n∑d|i=∑d=1n⌊nd⌋杜教筛
栗子:求∑i=1nφ(i),∑i=1nμ(i),1≤n≤231−1关于杜教筛:
求F(n)=∑if(i),存在g=f×I, I表示恒等函数,即g=∑d|nf(d)
我们定义G(n)=∑ig(i) ,就可以得到F(n)=G(n)−∑iF(⌊ni⌋)
如果G(n)可以在一定时间内求解,那么我们最好情况下可以做到O(n23)的时间求解F(n)
假设计算出F(n)的复杂度为T(n),则有T(n)=O(n√)+∑i=1n√T(i)+T(ni),这里只展开一层就可以了,更深层的复杂度是高阶小量,所以有T(n)=∑∑i=1n√O(i√)+O(ni−−√)=O(n34)。
如果用筛法预处理前k个F(n),且k≥n√,则复杂度变为T(n)=∑i=1nkni−−√=O(nk√),当k=O(n23)时可以取到较好的复杂度T(n)=O(n23)。
实际上上面的复杂度证明我也不懂…只是搬运了神犇的讲解…
φ
利用一个反演公式n=∑d|nφ(d)=∑d|n,d<nφ(d)+φ(n)得出φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)
那么设P(n)=∑i=1nφ(n)
P(n)=∑i=1nφ(n)
=∑i=1n(i−∑d|i,d<iφ(d))
=n(n+1)2−∑i=1n∑d|i,d<iφ(d)
令i=id
那么原式=n(n+1)2−∑id=1n∑d|id,d<idφ(d)
=n(n+2)2−∑i=2n∑d=1⌊ni⌋φ(d)=n(n+1)2−∑i=2nP(⌊ni⌋)
也就是说P(n)=n(n+1)2−∑i=2nP(⌊ni⌋)
μ
设M(n)=∑i=1nμ(i)同样利用一个反演公式1(n)=∑d|nμ(d)来化简
1(n)=∑i=1n[i=1]=∑i=1n∑d|iμ(d)=∑i=1n∑d=1n[d|i]μ(id)
令i=id
那么原式=∑id=1n∑d=1nμ(i)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋μ(i)=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋μ(d)=∑i=1nM(⌊ni⌋)
也就是说∑i=1nM(⌊ni⌋)=1
又因为M(n)=∑i=1nM(⌊ni⌋)−∑i=2nM(⌊ni⌋)
所以M(n)=1−∑i=2nM(⌊ni⌋)
咦怎么感觉就是省了点常数…
加几个链接:
http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
http://jiruyi910387714.is-programmer.com/posts/195270.html
http://www.cnblogs.com/abclzr/p/6242020.html
例题
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