[莫比乌斯反演]【学习笔记】[旧]

【零】

什么是反演：

假设有两个函数 f 和 g 满足：

f(n)=∑k a[n,k]*g(k)
已知 f 求 g 的过程就称为反演。

【一】

若f(n)的定义域为正整数域，值域为复数，即f:Z+→C，则称f(n)为数论函数。

若f(n)为数论函数，且f(1)=1，对于互质的正整数p,q有f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)，则称其为积性函数。

若f(n)为积性函数，且对于任意正整数p,q都有f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)，则称其为完全积性函数。

积性函数的前缀和也是积性函数

【二】


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形式二：



【莫比乌斯函数】

1.

莫比乌斯函数μ(n)，在狄利克雷卷积的乘法中与恒等函数互为逆元，mu*1=e

积性函数.　　证明：μ(n)=∏μ(pi^ei),每个pi^ei是互质的

μ(1)=1

μ(n)=(-1)^k 若n是k个不同prime之积 （质因子的次数都为1）

0 其他情况

2.性质：

(1)



证明：n!=1时，质因子次数都为1，i个质因子的有C(k,i)个，

列出来根据二项式定理

得证

就是容斥原理，奇数个质因子减，偶数个质因子加，

(2)

n=Σ{d|n | phi(d)}

证明：

i/n化为最简分数j/d，那么d|n且gcd(j,d)=1

以d为分母的最简分数有phi(d)个

一共n个分数

(3)



证明：用上面那个式子，裸上莫比乌斯反演 f(n)=n,g(n)=phi(n)

3.求莫比乌斯函数

线性筛

bool notp
;
int p
,mu
;
void sieve(){
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N-1;i++){
if(!notp[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N-1;j++){
int t=i*p[j];
notp[t]=1;
if(i%p[j]==0){
mu[t]=0;
break;
}
mu[t]=-mu[i];
}
}
}

【莫比乌斯反演的证明】





【一句话】

莫比乌斯反演就是偏序集上的容斥原理

用处：