莫比乌斯反演学习笔记

数学真是太难了，Orz JZP，Orz PoPoQQQ，Orz……

先介绍一个前置的东西。。

积性函数

对于定义在N+上的函数

，若当

时有

，则

是一个积性函数。特别地，如果在任何时候都成立，则是一个完全积性函数。

显然，积性函数的积也是积性函数。

莫比乌斯函数

：

定义为


显然，莫比乌斯函数是一个积性函数。

性质：



证明略。。翻数论书去。。

莫比乌斯反演：设

满足

，则有

；当

，有

，反之亦成立。。

证明：



第二步到第三遍就分配率考虑

的系数来得到，第三步到第四步是因为只有当

=1即

=n时

=1。

莫比乌斯反演可以用来简化一些运算，比如

表示

的a，b对数，这要枚a，b两个量，不好计算。若有

表示

的a，b对数，根据乘法原理容易得到

，而又有

，所以可以用莫比乌斯反演得到

，这样只要枚举n的倍数一个量就可以计算了。。

大体上说，

可以认为是仅包含性质n的计数，而F(n)是所有包含性质n的计数，所以也就是

的和，它一般会比更易求得，那么可以用莫比乌斯反演将求

的问题转化为求

的问题，以此简化运算。

这只是我简单的理解、、（word的公式搬上来实在蛋疼