线性代数A矩阵乘以A的转置的含义或者几何意义

以A(T)表示A的转置

因为只有方阵才可能具有特征值，对于实际遇到的一些问题（比如最小二乘问题），往往遇上长方阵，长方阵根本没有特征值。因而就有必要对特征值做推广，这就是奇异值。奇异值是特征值的一种推广。

再看什么是奇异值。对于任意矩阵A（甚至是非方阵），A(T)A（这个时候就变成方阵了,可以计算特征值了）的特征值就称为A的奇异值。奇异值有个特性，就是A(T)A和AA(T)特征值相同。证明如下：

【假定A(T)A做了一个特征分解,为：

A(T)A = QΣQ(T)

对上式取转置,有

AA(T) = QΣ(T)Q(T)

显然,Σ是个对角阵,因而,Σ(T) = Σ

故而,AA(T)和A(T)A有完全一致的特征分解,即共特征值】

再看特征值和奇异值的关系。对于长方阵来说，它根本不存在特征值。所以之后再讨论。对于方阵来说，容易证明，其所有奇异值恰好为其所有特征值的模长的平方（即奇异值全实非负），因而奇异值和特征值有相当良好的对应关系。证明如下：

【假定方阵A有如下特征分

A = QΣQ(T)

则A(T)A = (QΣQ(T))(QΣQ(T)) = QΣΣQ(T)

因而,A(T)A的特征值,也就是A的奇异值,恰好为A的特征值的模长的平方】

【当然,对于复数域情况,里边的T要改成H,那么前一个Σ自然会带上复共轭】

再看奇异值为什么重要。我们知道,对于一个方阵来说,特征分解后,从特征值和特征向量我们就可以知道矩阵的大量性质。对于非方阵来说,我们也希望得到一个这样信息量巨大的分解,这就是奇异值分解（SVD）.这个SVD分解里边左右奇异向量分别是什么你的书上肯定都有,就不写在这里了.

最后看一下SVD分解和最小二乘的关系.我们知道,最小二乘有个解法,对于Ax = b的最小二乘问题,等价于求解其法方程A(T)Ax = A(T)b,这个时候就变成方阵的问题了.但是这种算法是不稳定的。一种更为有效的算法就是SVD分解并利用广义逆求解。

看一下广义逆和最小二乘、SVD的关系.广义逆可以百度一下.定义有很多式子.但是,对于可逆阵来说,广义逆就是逆.这里把A的广义逆记作A(+).则Ax = b的最小二乘解就是x = A(+)b.所以,现在的问题就是,怎么求A的广义逆A(+).通过SVD分解,广义逆可以这么求：

如果A有SVD分解如下：

A = VΣU(T)

则A(+) = UΣV(T)

当然,这里叙述可能不那么严谨.因为还涉及到Σ的形状什么的,所以两个式子的Σ形状大小不一样,形状变了,补0就行.

因此,SVD分解就完美解决了最小二乘问题.

-----更正---------

说错了一点点,奇异值不是特征值的模长的平方,它就是模长,因为奇异值要对Σ(H)Σ对角线开算术平方根.

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追问：

那对于最小二乘法，为什么要在左右乘上A的转置进行求解呢？

追答：

那种解法称作“法方程”解法。相当于求得一个x，使得A(T)(b-Ax)=0，也就是残差与矩阵A行向量的内积为0，即残差与矩阵A的行空间正交，由投影定理，可以证明，此时残差二范数最小。以上就是法方程的几何意义。法方程的解恰好是最小二乘解还有其他更严格的证明，比如泛函式的证明。但是，法方程法不是最佳解法。一般较优解法是QR分解法以及广义逆法（配合SVD分解）。