蓝桥杯 历届试题 大臣的旅费 (两次dfs 之树上求最长路径)
2017-03-15 17:55
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分析:这题刚开始用一个二维数组储存从城市i到城市j,dfs很容易就写出来,但是只得了 75分,原因据说是最后一组数据在10000左右,二维数组明显开不下;好吧,就用vector容器来储存,但是呢我又采用的是把每个点都进行dfs遍历,这个做法就超时了,看了网上一些题解,原来只需要用两个点进行dfs遍历,首先任意找一个点,进行dfs找到最长路径,把端点记下,然后再从该端点进行dfs,得到的最长路就是要求的路径。细读题目会发现是一个树型的图,从任意一个城市i到任意城市j只有唯一一条路径(当然,不能重复经过),然后再附上别人写的树的直径(最长路)证明
主要是利用了反证法:
假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路
现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路
证明:
1 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则
dis(u,T) >dis(u,s) 且 dis(u,T)>dis(u,t) 则最长路不是s-t了,与假设矛盾
2 设u不为s-t路径上的点
首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,那么接下来的路径肯定都在s-t上了,而且终点为s或t,在1中已经证明过了
所以现在又有两种情况了:
1:u走到了s-t路径上的某点,假设为X,最后肯定走到某个端点,假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)
2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,则dis(u-T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然,如果这个式子成立,
则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)最长路不是s-t矛盾
AC代码:
主要是利用了反证法:
假设 s-t这条路径为树的直径,或者称为树上的最长路
现有结论,从任意一点u出发搜到的最远的点一定是s、t中的一点,然后在从这个最远点开始搜,就可以搜到另一个最长路的端点,即用两遍广搜就可以找出树的最长路
证明:
1 设u为s-t路径上的一点,结论显然成立,否则设搜到的最远点为T则
dis(u,T) >dis(u,s) 且 dis(u,T)>dis(u,t) 则最长路不是s-t了,与假设矛盾
2 设u不为s-t路径上的点
首先明确,假如u走到了s-t路径上的一点,那么接下来的路径肯定都在s-t上了,而且终点为s或t,在1中已经证明过了
所以现在又有两种情况了:
1:u走到了s-t路径上的某点,假设为X,最后肯定走到某个端点,假设是t ,则路径总长度为dis(u,X)+dis(X,t)
2:u走到最远点的路径u-T与s-t无交点,则dis(u-T) >dis(u,X)+dis(X,t);显然,如果这个式子成立,
则dis(u,T)+dis(s,X)+dis(u,X)>dis(s,X)+dis(X,t)=dis(s,t)最长路不是s-t矛盾
AC代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; const int maxn=1e5+10; struct node{ int to,cost; //to表示到达的城市,cost表示走的路程 node(int to=0,int cost=0):to(to),cost(cost){} }; int vis[maxn]; int n; vector<node>vec[maxn]; int tmp; int ans=0; void dfs(int i,int x){ if(ans<x)ans=x,tmp=i; for(int j=0;j<vec[i].size();j++){ int t=vec[i][j].to; int cost=vec[i][j].cost; if(!vis[t]){ vis[t]=1; dfs(t,x+cost); vis[t]=0; } } } int main(){ while(scanf("%d",&n)==1){ for(int i=1;i<=n;i++) vec[i].clear(); memset(v 4000 is,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=n-1;i++){ int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); vec[a].push_back(node(b,c)); vec[b].push_back(node(a,c)); } tmp=1; vis[1]=1; dfs(1,0); memset(vis,0,sizeof(vis)); vis[tmp]=1; ans=0; dfs(tmp,0); printf("%d\n",(1+10)*ans+ans*(ans-1)/2); } return 0; }
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