漫步数学分析二十六——积分方程与不动点

在许多物理问题中，我们会遇到积分方程；他们的形式如下

f(x)=a+∫x0k(x,y)f(y)dy(1)

其中a=f(0),k已经给定，我们假设k是连续的。

例如f(x)=aex就是微分方程df/dx=f(x)的解，而微分方程与

f(x)=a+∫x0f(y)dy

是一样的。

我们可以用Arzela-Ascoli定理来分析方程1，然而目前我们只考虑满足某些特殊假设的情况，这样的话下面的定理就是可用的。

定理10(压缩映射原理(Contraction Mapping Principle))令T:ℓb(A,Rm)→ℓb(A,Rm)是一个给定的映射，且满足存在一个常数λ,0≤λ<1 使得对所有的f,g∈ℓb(A,Rm)

∥T(f)−T(g)∥≤λ∥f−g∥

那么T有一个唯一的不动点(fixed point)；即存在唯一的一个点f0∈ℓb(A,Rm)使得T(f0)=f0。

注意：这个证明对任何完备度量空间都是有效的，所有T的条件可以看成d(T(x),T(y))≤λd(x,y)。这样的映射T称为压缩(contraction)；缩放因子为λ<1。

证明的方法叫做逐次逼近(successive approximations)，我们从任意的f∈ℓb开始然后形成序列

f,T(f),T2(f)=T(T(f)),T3(f)=T(T(T(f))),…

接下里我们说明这个序列是柯西序列，这样的话它就收收敛到ℓb中并且极限函数就是要求的解。这个方法在构造上非常有用，我们可以逐次计算逼近序列的元素，另外如果我们从解出发，或者在迭代过程中幸运地遇到解的话，这个序列就停止了。

定理10的应用 如果supx∈[0,r]∫x0|k(x,y)|dy=λ<1，那么方程1在[0,r]上有唯一的解。

实际上，将T(f)定义成

T(f)(x)=a+∫x0k(x,y)f(y)dy

那么方程1的解就是T的不动点，反之亦然。为了应用定理10，我们必须确认T是一个压缩：∥T(f)−T(g)∥≤λ∥f−g∥，此时A=[0,r],m=1。接下来

∥T(f)−T(g)∥=supx∈[0,r]|T(f)(x)−T(g)(x)|=supx∈[0,r]∣∣∣∫x0k(x,y)[f(y)−g(y)]dy∣∣∣≤(supx∈[0,r]∫x0|k(x,y)|dy)∥f−g∥=λ|f−g|

其中|f(y)−g(y)|≤∥f−g∥是一个常数，因此T 是一个压缩，故有唯一的一个不动点，也就是要求的解。

随后我们会给出该方法更多的应用，目前我们需要认识到这个方法在微分与积分方程理论中非常重要。

例1：给出一个完备度量空间X与映射T:X→X，该映射满足d(T(x),T(y))≤d(x,y)但是没有唯一不动点的实例。

解： 令X=R，且满足通常的距离d(x,y)=|x−y|。令T(x)=x+1，显然，没有一个x满足x=x+1，但是|T(x)−T(y)|=|x−y|。

这个例子说明定理10中的λ<1是必不可少的，λ=1不满足要求。

例2：说明将逐次近似方法应用到f(x)=1+∫x0f(y)dy上将产生通常的形式ex。

解：我们首先从0开始，因为T(g)=1+∫x0g(y)dy，所以可得：

T(0)T2(0)=T(T(0))T(T2(0))T(T3(0))⋮Tn(0)=1;=1+∫x0dy=1+x;=1+∫x0(1+y)dy=1+x+x22;=1+∫x0(1+y+y22)=1+x+x22+x33!;=1+x+⋯+xn−1(n−1)!

所以这个序列收敛到ex。

例3：令k(x,y)=xe−xy，在哪个区间[0,r]上，文中的方法可以保证方程1有解？

解：估计λ并核对λ<1。

λ=supx∈[0,r]∫x0xe−xydy=supx∈[0,r](1−e−x2)=1−e−r2

那么我们在任意区间[0,r]上可得到唯一解。