triplet loss 原理以及梯度推导

【前言】 

最近，learning to rank 的思想逐渐被应用到很多领域，比如google用来做人脸识别（faceNet），微软Jingdong Wang 用来做 person-reid 等等。learning to rank中其中重要的一个步骤就是找到一个好的similarity function，而triplet loss是用的非常广泛的一种。

【理解triplet】



如上图所示，triplet是一个三元组，这个三元组是这样构成的：从训练数据集中随机选一个样本，该样本称为Anchor，然后再随机选取一个和Anchor (记为x_a)属于同一类的样本和不同类的样本,这两个样本对应的称为Positive (记为x_p)和Negative (记为x_n)，由此构成一个（Anchor，Positive，Negative）三元组。

【理解triplet loss】 

有了上面的triplet的概念， triplet loss就好理解了。针对三元组中的每个元素（样本），训练一个参数共享或者不共享的网络，得到三个元素的特征表达，分别记为：

 。triplet loss的目的就是通过学习，让x_a和x_p特征表达之间的距离尽可能小，而x_a和x_n的特征表达之间的距离尽可能大，并且要让x_a与x_n之间的距离和x_a与x_p之间的距离之间有一个最小的间隔

。公式化的表示就是： 



对应的目标函数也就很清楚了： 


 

这里距离用欧式距离度量，+表示[]内的值大于零的时候，取该值为损失，小于零的时候，损失为零。 

由目标函数可以看出:
当x_a与x_n之间的距离 < x_a与x_p之间的距离加

时，[]内的值大于零，就会产生损失。
当x_a与x_n之间的距离 >= x_a与x_p之间的距离加

时，损失为零。

【triplet loss 梯度推导】 

上述目标函数记为L。则当第i个triplet损失大于零的时候，仅就上述公式而言，有： 



【算法实现时候的提示】 

可以看到，对x_p和x_n特征表达的梯度刚好利用了求损失时候的中间结果，给的启示就是，如果在CNN中实现 triplet loss layer, 如果能够在前向传播中存储着两个中间结果，反向传播的时候就能避免重复计算。这仅仅是算法实现时候的一个Trick。

下一节给出caffe中实现triplet loss的方法和代码。