triplet loss原理推导及其代码实现

关于triplet loss原理及推导，参考来源：

triplet loss 原理以及梯度推导

【前言】

最近，learning to rank 的思想逐渐被应用到很多领域，比如google用来做人脸识别（faceNet），微软Jingdong Wang 用来做 person-reid 等等。learning to rank中其中重要的一个步骤就是找到一个好的similarity function，而triplet loss是用的非常广泛的一种。

【理解triplet】



如上图所示，triplet是一个三元组，这个三元组是这样构成的：从训练数据集中随机选一个样本，该样本称为Anchor，然后再随机选取一个和Anchor (记为x_a)属于同一类的样本和不同类的样本,这两个样本对应的称为Positive (记为x_p)和Negative (记为x_n)，由此构成一个（Anchor，Positive，Negative）三元组。

【理解triplet loss】

有了上面的triplet的概念， triplet loss就好理解了。针对三元组中的每个元素（样本），训练一个参数共享或者不共享的网络，得到三个元素的特征表达，分别记为：

。triplet loss的目的就是通过学习，让x_a和x_p特征表达之间的距离尽可能小，而x_a和x_n的特征表达之间的距离尽可能大，并且要让x_a与x_n之间的距离和x_a与x_p之间的距离之间有一个最小的间隔

。公式化的表示就是：



对应的目标函数也就很清楚了：



这里距离用欧式距离度量，+表示[]内的值大于零的时候，取该值为损失，小于零的时候，损失为零。

由目标函数可以看出:

当x_a与x_n之间的距离 < x_a与x_p之间的距离加

时，[]内的值大于零，就会产生损失。
当x_a与x_n之间的距离 >= x_a与x_p之间的距离加

时，损失为零。
【triplet loss 梯度推导】

上述目标函数记为L。则当第i个triplet损失大于零的时候，仅就上述公式而言，有：



【算法实现时候的提示】

可以看到，对x_p和x_n特征表达的梯度刚好利用了求损失时候的中间结果，给的启示就是，如果在CNN中实现 triplet loss layer, 如果能够在前向传播中存储着两个中间结果，反向传播的时候就能避免重复计算。这仅仅是算法实现时候的一个Trick。

下面是关于triplet loss的matlab代码实现，参考来源：

matlab---triplet loss

**摘要:**triplet loss 可以提高特征匹配的性能，可用物体识别，人脸识别，检索等方面，本文用matlab实现triplet loss。

triplet loss 就是学习一个函数隐射f(x),
从特征x
映射到 RD,
有如下关系：y=f(x).
在一个特征空间RD中，我们通过欧式距离度量两个特征向量的距离。
triplet loss 的目的在于使同一个类别在RD空间中靠近，不同类别在RD空间中远离，那么我们就可以抽象为如下优化函数：

minw1m∑im||f(xai−f(xpi))||22−||f(xai−f(xni))||22+α
其中f(x)=wx,
xai是锚点，xpi是正样本点，它和xai属于同一类别，xni是负样本点，它和xai不属于同一类别。

这样我们可以通过无约束优化来约束上面函数。

function demo_tripletloss
clear all
clc
data{1} = rand(600,300);
data{2} = rand(600,300);
data{3} = rand(600,300);
inputSize = 600;
hiddenSize = 400;
theta = initializeParameters(hiddenSize, inputSize);

addpath minFunc/
options.Method = 'cg'; % Here, we use L-BFGS to optimize our cost
% function. Generally, for minFunc to work, you
% need a function pointer with two outputs: the
% function value and the gradient. In our problem,
% sparseAutoencoderCost.m satisfies this.
options.maxIter = 400;      % Maximum number of iterations of L-BFGS to run
options.display = 'on';

[opttheta, cost] = minFunc( @(p) tripletCost(p, inputSize, hiddenSize, data),theta, options);

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tripletCost.m

function [cost,grad] = tripletCost(theta, inputSize, hiddenSize, data)
%================================================
%何凌霄 中科院自动化所
%创建时间：2016年5月25日
%================================================

% data: trainning sample for triplet loss
% W: transformer matrix
% cost: cost function
% grad: gradient direction
W = reshape(theta, hiddenSize, inputSize);
% Cost and gradient variables (your code needs to compute these values).
% Here, We initialize them to zeros.
cost = 0;
Wgrad = zeros(size(W));

% the gradient descent update to W1 Would be W1 := W1 - alpha * W1grad, and similarly for W2, b1, b2.
%

[n m] = size(data{1});%m: the number of samples，m:the dim of feature
bias = 0.2;
%forWard
% calc cost
for i = 1:m
cost = cost + ((W*data{1}(:,i) - W*data{2}(:,i))'*(W *data{1}(:,i) - W*data{2}(:,i)) - (W*data{1}(:,i) - W*data{3}(:,i))'*(W *data{1}(:,i) - W*data{3}(:,i)) +bias)/m;
end

%calc gradient

%计算W1grad
Wgrad = (2*W*((data{1} - data{2})*(data{1} - data{2})' - (data{1} - data{3})*(data{1} - data{3})'))/m;

%-------------------------------------------------------------------
% After computing the cost and gradient, We Will convert the gradients back
% to a vector format (suitable for minFunc).  Specifically, We Will unroll
% your gradient matrices into a vector.

grad = Wgrad(:);

end

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initializeParameters.m

function theta = initializeParameters(hiddenSize, inputSize)

% Initialize parameters randomly based on layer sizes.
r  = sqrt(6) / sqrt(hiddenSize+inputSize+1);   % we'll choose weights uniformly from the interval [-r, r]
W1 = rand(hiddenSize, inputSize) * 2 * r - r;

theta = W1(:);

end

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另外需要一个优化包见资源.

其中关于minFunc是一个资源包，作者Author: Mark Schmidt (2006)，在这个网址还有不少好资源。

下面是本人关于triplet loss原理推导的一些补充。在上文关于triplet loss的原理推导过程中，有一点容易被忽视，这一点在真正去实现其代码的时候就会发现，无从下手，因为我们要求关于参数的偏导。那么在triplet loss中谁是真正的参数呢（尤其在深度学习中）？很明显在上文的推导过程中我们没看到参数。真正的参数是f这个映射，即把xi映射为一种表示，通常为（w0,w1,...,wn）.*(1,x1,...,xn)，这里的参数w就是要学习的参数，需要通过triplet
loss的梯度反向传播。