面试经典动态规划问题
2017-02-21 20:25
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经典动态规划问题
三角数塔问题
设有一个三角形的数塔,顶点为根结点,每个结点有一个整数值。从顶点出发,可以向左走或向右走,如图所示:要求从根结点开始,请找出一条路径,使路径之和最大,只要输出路径的和。
思路
从叶节点倒推回根,因为每个节点只可能向左或者向右,所以转移方程为dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])
代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXN 101 int n,d[MAXN][MAXN]; int a[MAXN][MAXN]; void fnRecursive(int,int); //递推方法函数声明 int fnMemorySearch(int,int); //记忆化搜索函数声明 int main() { int i,j; printf("输入三角形的行数n(n=1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("按行输入数字三角形上的数(1-100):\n"); for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=i; j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=i; j++) d[i][j]=-1;//初始化指标数组 printf("递推方法:1\n记忆化搜索方法:2\n"); int select; scanf("%d",&select); if(select==1) { fnRecursive(i,j);//调用递推方法 printf("\n%d\n",d[1][1]); } if(select==2) { printf("\n%d\n",fnMemorySearch(1,1));//调用记忆化搜索方法 } else printf("输入错误!"); return 0; } void fnRecursive(int i,int j) //递推方法实现过程 { for(j=1; j<=n; j++) d [j]=a [j]; for(i=n-1; i>=1; i--) for(j=1; j<=i; j++) d[i][j]=a[i][j]+(d[i+1][j]>d[i+1][j+1]?d[i+1][j]:d[i+1][j+1]); } int fnMemorySearch(int i,int j) //记忆化搜索实现过程 { if(d[i][j]>=0) return d[i][j]; if(i==n) return(d[i][j]=a[i][j]); if(fnMemorySearch(i+1,j)>fnMemorySearch(i+1,j+1)) return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j))); else return(d[i][j]=(a[i][j]+fnMemorySearch(i+1,j+1))); }
硬币问题
有n种硬币,面值分别为V1,V2,…,Vn, 每种有无限多。给定非负整数S,可以选用多少硬币,使得面值之和恰好为S,输出硬币数目的最小值和最大值。(1<=n<=100,0<=S<=10000,1<=Vi<=S)。思路
完全背包,可以选择无限次某个物品,来达到某个(重量)。把S看做重量和,把硬币的面值看重量,把硬币个数当做是价值(也就是1)。
代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define INF 100000000 #define MAXNUM 10000 #define MONEYKIND 100 int n,S; int V[MONEYKIND]; int min[MAXNUM],max[MAXNUM]; void dp(int*,int*); //递推方法函数声明 void print_ans(int*,int); //输出函数声明 int main() { int i; printf("输入硬币的种数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入要组合的钱数S(0-10000):\n"); scanf("%d",&S); printf("输入硬币种类:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&V[i]); } dp(min,max); printf("最小组合方案:\n"); print_ans(min,S); printf("\n"); printf("最大组合方案:\n"); print_ans(max,S); return 0; } void dp(int *min,int *max) //递推过程实现 { int i,j; min[0] = max[0] = 0; for(i=1; i<=S; i++)//初始化数组 { min[i]=INF; max[i]=-INF; } for(j=1; j<=n; j++) for(i=1; i<=S; i++) if(i>=V[j]) { if(min[i-V[j]]+1<min[i]) { min[i]=min[i-V[j]]+1;//最小组合过程 //printf("%d\n",min[i]); } if(max[i-V[j]]+1>max[i]) max[i]=max[i-V[j]]+1;//最大组合过程 } } void print_ans(int *d,int S) //输出函数实现 { int i; for(i=1; i<=n; i++) if(S>=V[i]&&d[S]==d[S-V[i]]+1) { printf("%d-",V[i]); print_ans(d,S-V[i]); break; } }
矩形嵌套问题
有n个矩形,每个矩形可以用两个整数a,b描述,表示它的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中,当且仅当a思路
预处理一个二维矩阵,G[i][j]表示第i个矩阵可以被套进第j个矩阵里。然后用记忆化搜索爆搜,时间复杂度O(N2)
代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100//矩形的最大个数 struct Rect { int x; int y; }; int n;//矩形个数 struct Rect rect[MAXNUM]; int G[MAXNUM][MAXNUM];//邻接有向图 int d[MAXNUM];//过程数组 int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM]); int main() { int i,j,z; printf("输入矩形个数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入矩形的长和宽:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&rect[i].x); scanf("%d",&rect[i].y); } for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) { if(rect[i].x<rect[j].x&&rect[i].y<rect[j].y || rect[i].y<rect[j].x&&rect[i].x<rect[j].y ) G[i][j]=1; } printf("输入要开始的矩形z:\n"); scanf("%d",&z); //printf("%d-",z); int temp = dp(z,G); printf("最大可嵌套个数:%d\n",temp); return 0; } int dp(int i,int G[MAXNUM][MAXNUM]) { int j; if(d[i]>0) return d[i]; d[i]=1; //嵌套自己本身 for(j=1; j<=n; j++) if(G[i][j]) if(dp(j,G)+1>d[i]) { d[i]=dp(j,G)+1; } return d[i]; }
最长不下降序列问题
设有一个正整数序列b1,b2,b3,……,bn,若下标为i1思路
两种解法,一种是O(N2)的解法,比较简单。dp[i]表示以num[i]结尾的最长上升子序列。另一种是Nloh(N)的解法,思路是,记录现阶段的最长上升子序列d[i],然后对于每一个num[i],若num[i]大于d[len(d)-1],则在d数组后面加上num[i];否则,在d数组中用二分搜索找出第一个大于num[i]的值,并替换为num[i],这样最长上升子序列长度不变,但是得到了一个更有潜力成为最长上升子序列的子序列。
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int a[40005]; int d[40005]; int main() { int n; scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); if (n==0) //0个元素特判一下 { printf("0\n"); return 0; } d[1]=a[1]; //初始化 int len=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (a[i]>=d[len]) d[++len]=a[i]; //如果可以接在len后面就接上 else //否则就找一个最该替换的替换掉 { int j=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d; //找到第一个大于它的d的下标 d[j]=a[i]; } } /* for (int i=2; i<=n; i++) { len = 0; for(int j=1; j<i; j++) if((a[i]>=a[j])&&(d[j]>len)) len=b[j]; if(len>0) d[i]=len+1; } */ printf("%d\n",len); return 0; }
0-1背包问题
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXN 100//物品种类最大数量 int w[MAXN],V[MAXN]; int C;//最大容量 int n;//物品种类 int d[MAXN][MAXN]; int jMax; int min(int,int); //两数之间的最小值 int max(int,int); //两数之间的最大值 void print_ans(int d[][MAXN],int,int); //构造最优解并输出 int main() { int i,j; printf("输入物品种类数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入每个种类的重量:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&w[i]); } printf("输入每个种类的价值:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&V[i]); } printf("输入背包的容量C:\n"); scanf("%d",&C); jMax=min(C,w -1); for(j=0; j<=jMax; j++) d [j]=0; for(j=w ; j<=C; j++) d [j]=V ; for(i=n-1; i>1; i--) { jMax=min(C,w[i]-1); for(j=0; j<=jMax; j++) d[i][j]=d[i+1][j]; for(j=w[i]; j<=C; j++) d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j-w[i]]+V[i]); } d[1][C]=d[2][C]; if(C>=w[i]) d[1][C]=max(d[1][C],d[2][C-w[i]]+V[1]); printf("最大可容纳:%d\n",d[1][C]); return 0; } int min(int x,int y) { if(x>y) return y; else return x; } int max(int x,int y) { if(x<y) return y; else return x; }
数字游戏问题
小W发明了一个游戏,他在黑板上写出了一行数字a1,a2,a3,……,an,然后给你M个回合的机会,每回合你可以从中选择一个数字擦去它,接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi。如此重复m个回合,所有你擦去的数字之和就是你所得的分数。编程算算,对于每个a和b序列,可以得到的最大得分是多少。
输入样例:
3 {数字个数n}
3 {回合数m}
10 20 30 {n个原始序列}
4 5 6 {n个每回合每个数字递减的值}
输出样例:
47
思路
让a[i]和b[i],关于b降序排列。减少得多的先被擦掉,就可以让剩下的和尽可能的大。(但是总觉得好像)dp[i][j]表示前i个数字在第j轮的时候的最大取值。
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+a[i]-b[i]*(j-1))
代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100 int n;//数字个数 int m;//回合数 int Num[MAXNUM];//原始数据数组 int DescNum[MAXNUM];//递减数据数组 int F[MAXNUM][MAXNUM];//过程数组 void swap(int &,int &); //交换两个整数 int max(int ,int ); //取两个中的最大值 int main() { int i,j; printf("输入数字的个数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入回合数m(1-100)<=n:\n"); scanf("%d",&m); printf("输入n个原始序列:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&Num[i]); } printf("输入n个递减的数字:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&DescNum[i]); } for(i=1; i<=n; i++) { for(j=i+1; j<=n; j++) { if(DescNum[i]<DescNum[j]) { swap(Num[i],Num[j]); swap(DescNum[i],DescNum[j]); } } } // for(int i = 1; i<=n; i++) // printf("%d ", DescNum[i]); for(i=1; i<=n; i++) { F[i-1][0]=0; for(j=1; j<=m; j++) F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i-1][j-1]+Num[i]-DescNum[i]*(j-1)); } printf("得分:%d\n",F [m]+DescNum[1]); return 0; } void swap(int &x,int &y) { int temp; temp = x; x = y; y = temp; } int max(int x,int y) { if(x<y) return y; else return x; }
挖地雷
在一个地图上有N个地窖(N<=200),每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时,给出地窖之间的连接路径,并规定路径都是单向的。某人可以从任一处开始挖地雷,然后沿着指出的连接往下挖(仅能选择一条路径),当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案,使他能挖到最多的地雷。思路
类似第一题代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 200 int n;//地窖的个数 int w[MAXNUM];//每个地窖中的地雷数 int Sum[MAXNUM];//挖到的地雷总数 int G[MAXNUM][MAXNUM];//形成的图 int next[MAXNUM];//记录路径 int max;//最大值 int start; //void init(int G[MAXNUM][MAXNUM]); //void init2(int n[MAXNUM]); int main() { int i,j,x,y; printf("输入地窖的个数n(1-200):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入各个地窖中的地雷数:\n"); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&w[i]); } //init(G);//初始化有向图 printf("输入各个地窖之间的链接(x,y):\n"); scanf("%d,%d",&x,&y); while(x!=0&&y!=0) { G[x][y]=1; scanf("%d,%d",&x,&y); } //init2(Sum); Sum =w ; for(i=n-1;i>=1;i--) { for(j=i+1;j<=n;j++) { if(G[i][j]&&Sum[j]>Sum[i]) { Sum[i]=Sum[j]; next[i]=j; } } Sum[i] += w[i]; } max = 0; for(i=1;i<=n;i++) { if(Sum[i]>max) { max=Sum[i]; start = i; } } printf("最大路径:"); printf("%d-",start); while(next[start]!=0) { printf("%d-",next[start]); start = next[start]; } printf("最大挖雷数:%d\n",max); return 0; }
最小代价子母树
设有n堆沙子排成一排,其编号为1,2,3,…,n(n≤100)。每堆沙子有一定的数量,如下表13 7 8 16 21 4 18
现在要将n堆沙子归并成一堆。归并的过程为每次只能将相邻的两堆沙子堆成一堆,这样经过n-1次归并之后最后成为一堆,如上面7堆沙子,可以有多种方法归并成一堆,归并的代价是这样定义的,将两堆沙子归并为一堆时,两堆沙子数量的和称为归并2堆沙子的代价。由此可见,不同归并过程得到的总的归并代价是不一样的。
问题:n堆沙子的数量给出之后,找出一种合理的归并方法,使总的归并代价为最小。
[输入格式]
n {表示沙子的堆数, 2<=n<=100}
a1 a2 … an {表示每堆沙子的数量,1<=Ai<=100}
[输出格式]
x {表示最小的归并总代价 }
输入样例:
7
13 7 8 16 21 4 18
输出样例:
239
思路
典型的区间dp代码
#include <STDIO.H> #include <STDLIB.H> #define INF 1000000 #define MAXNUM 100 int n;//沙子的堆数 int Num[MAXNUM];//每堆沙子的数量 int F[MAXNUM][MAXNUM];//过程函数 int G[MAXNUM][MAXNUM]; int fnMin(int ,int ); //返回两个数的最小值 int main() { int i,j,k,m,L,t; printf("输入沙堆的堆数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入每堆中沙子的个数:\n"); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d",&Num[i]); G[i][i]=Num[i]; F[i][i]=0; } for (m=n-1;m>=1;m--) { for (i=1;i<=m;i++) { L=n-m+1; j=i+L-1; for (k=i;k<=j;k++) { G[i][j]=G[i][j]+G[k][k]; } F[i][j]=INF; for (k=i;k<=j-1;k++) { t=F[i][k]+F[k+1][j]+G[i][j]; if (t<F[i][j]) { F[i][j]=t; } } } } printf("最小代价:%d\n",F[1] ); return 0; }
数字移动问题
给出一个1到n的排列,每次可以移动一个数到一个任意位置。问要达到状态1,2,3……n至少移动多少次?Sample Input
5
2 1 4 5 3
Sample Output
2
思路
计算出最长上升子序列,然后用总长度减去它。代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 100//最大数字个数 #define INF 100000000 int n;//数字个数 int Num[MAXNUM];//未排序数字 int Last[MAXNUM]; void update(int x,int y,int L[],int N[],int i); //递归函数 int main() { int i,j; int lis; printf("输入数字的个数n(1-100):\n"); scanf("%d",&n); printf("输入数字:\n"); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&Num[i]); } lis = 0; Last[lis]=-INF; for(i=1;i<=n;i++) { if(Num[i]>Last[lis]) { lis++; Last[lis]=Num[i]; } else update(0,lis,Last,Num,i); } printf("最少移动次数:%d\n",n-lis); return 0; } void update(int x,int y,int L[],int N[],int i) { if(x==y) { L[x]=N[i]; } else { if(L[(x+y)/2]>N[i]) { update(x,(x+y)/2,L,N,i); } else { update((x+y)/2+1,y,L,N,i); } } }
叠放箱子问题
某港口有一批箱子,将其编号,分别为1至N。每一个箱子的尺寸规格是一样的,现在要将其中某些箱子叠放起来,箱子叠放的规则如下:一、每个箱子上最多只能直接叠放一个箱子;
二、编号较小的箱子不能放在编号较大的箱子之上;
三、每个箱子都给出了自身重量与可承受重量,每个箱子之上的所有箱子重量之和不得超过该箱的可承受重量。
为了节约堆放场地,希望你编程从中选出最多个箱子,使之能够在满足条件的情况下叠放起来。
【输入】
第一行是一个整数N(1≤N≤1000)。
以下共有N行,每行两个整数,中间以空格分隔,分别表示每个箱子的自身重量与可承受重量,两个数值均为小于等于3000的正整数。
【输出】
第一行应当输出最多可叠放的箱子总数M。
【样例】有五个箱子,如下表:
1 19 15
2 7 13
3 5 7
4 6 8
5 1 2
则最多可以叠放4个箱子,方案之一如:1、2、3、5
思路
倒序计算其余为0-1背包。
代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXNUM 1000//最大的箱子个数 #define MAXWIGHT 3000// int n;//箱子数目 int F[MAXNUM+1][6000];//第i个箱子到第n个箱子中总重量为j的最大箱子数 int Weight[MAXNUM];//箱子重量 int Capacity[MAXNUM];//箱子所能承受的压力 int max(int ,int ); //返回两个数的最大值 int main() { int i,j,ans; printf("输入箱子的个数n(1-1000):\n");; scanf("%d",&n); printf("分别输入箱子的重量和能承受的重量(x y):\n"); for(i=1; i<=n; i++) scanf("%d %d",&Weight[i],&Capacity[i]); F[n+1][0] = 0; for(i=n; i>=1; i--) { for(j=0; j<=2*MAXWIGHT; j++) { F[i][j]=F[i+1][j]; if(j>=Weight[i]&&Capacity[i]>=j-Weight[i]) { F[i][j]=max(F[i][j],F[i+1][j-Weight[i]]+1); } } } ans=0; for(i=0; i<=6000; i++) ans = max(ans,F[1][i]); printf("最大叠放:%d",ans); return 0; } int max(int x,int y) { if(x>y) return x; else return y; }
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