整数划分问题（递归）

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

    n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

1.递归法：

   根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下

          为f(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      综上所述：

                             f(n, m)=   1;              (n=1 or m=1)

               f(n,m)   =    f(n, n);                   (n<m)

                             1+ f(n, m-1);              (n=m)

                             f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m)

python实现：

def devide(m,r,out):
if(r==0):
return 1
m1=r
while m1>0:
if m1<=m:
out.append(m1)
if devide(m1,r-m1,out):
print out
out.pop()
m1-=1
return 0

n=4
devide(n-1,n,out=[])


结果：

============ RESTART: I:\python_DataStructure\整数划分（递归）.py ============
[3, 1]
[2, 2]
[2, 1, 1]
[1, 1, 1, 1]
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