11088 整数划分的扩展问题（递归，分治）

11088 整数划分的扩展问题

Description

下面有整数划分问题扩展出的多个题例：
（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数
（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数
（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数
（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数
约定：
整数划分无顺序，比如对7划分，认为2 2 3和3 2 2和2 3 2为同一种划分。

输入格式

两个数n和m，中间空格相连。n和m都不超过100。

如输入7 3
则：最大加数不超过3的划分为：(3 3 1)(3 2 2)(3 2 1 1)(3 1 1 1 1)(2 2 2 1)(2 2 1 1 1)(2 1 1 1 1 1)(1 1 1 1 1 1 1)，共8种。
不超过3个正整数的划分为：(7)(6 1)(5 2)(5 1 1)(4 3)(4 2 1)(3 3 1)(3 2 2)，共8种。
若干正奇数的划分为：(7)(5 1 1)(3 3 1)(3 1 1 1 1)(1 1 1 1 1 1 1)，共5种。
互不相同正整数的划分为：(7)(6 1)(5 2)(4 3)(4 2 1)，共5种。

输出格式

四个数，中间空格相连，分别为上面四个题例的结果。其中m参数只和题例（1）和（2）有关，与（3）（4）无关。

输入样例

7 3

输出样例

8 8 5 5

提示

这四个问题，不但要分析递归关系，还要正确写出递归的边界，有时边界值错一个，结果都不一定对，因此要小心。

1, 问题（1）即为书上例2-5。

2, 问题（2）也可以这样来想：
设d[i][j]表示i划分为j份，视为i个球放入j个盒子的方法数。d
[m]为题目问题（2）所求，d[i][j]有如下递推关系：
（1）j个盒子有空的，d[i][j]=d[i][j-1]，把某一空盒子拿出来放一边
（2）j个盒子都不空，d[i][j]=d[i-j][j]，每个盒子扣掉1个球
因此，d[i][j] = d[i][j-1] + d[i-j][j]， j>1;
特别的有： d[k][0]=0,k>=1; d[k][1]=1,k>=1

3, 问题（1）和问题（2）是结果是相同的。
可以证明，任何一个问题（1）的解都可以转化为另一个问题（2）的解，一一对应，因此记数相同。
这个证明思路可以参考如下：
对正整数n进行划分，不超过m个的划分，视为n块立方体积木堆成m列，垂直的来看n=n1+n2+...+nm。
对每一个堆法，将视角旋转90度，即水平方向上看，其实都对应一个最大加数不超过m的划分。
因此，对正整数n进行划分，不超过m个的划分，换种视角，都对应于一个最大加数不超过m的划分。反之亦然。
所以，这种对应是一一对应。
不超过m个加数的划分数 = 最大加数不超过m的划分数。

4, 设： Odd(I,J)表示I划分为J个正奇数的划分数; Even(I,J)表示I划分为J个正偶数的划分数.
有如下递推关系：
（1）Even(I,J) = Odd(I-J,J), 每个偶加数减掉1变为奇加数
（2）Odd(I,J) = Odd(I-1,J-1) + Even(I-J,J)， 加数含1的方式数 + 加数不含1的方式数
（3）特别的：  J>I || J<0, Odd(I,J)=0;
             Odd(1,1)=1, Odd(2,1)=0, Odd(2,2)=1
             J>I || J<0, Even(I,J)=0;
             Even(1,1)=0, Even(2,1)=1, Even(2,2)=0

5, 思想： 转化为子集和问题： 集合{1,2,…,n}，挑选若干正整数，使之和为n，这也是一个背包装物品问题。
设F(I,J)： 表示挑选集合前I个，使之和为J的方式数。
递推关系： F(I,J) = F(I-1,J) + F(I-1,J-I)， 第I个不挑的方式数 + 挑第I个的方式数
递推边界： F(1,1)=1, F(1,k)=0(k>1), F(I,k)=0(k<0), F(I,0)=1(I>0)（这里一个都没挑，值为0，也是一种方式，所以为1）

6, 其实这第(4)个问题的解也和第(3)问题的解是相同的，但我还未能证明，请同学们给我思路。

作者

我的实现代码

#include <iostream>

using namespace std;

int Q(int n, int m);
int EVEN(int n, int m);
int ODD(int n, int m);

// 最大加数不超过m的划分数；不超过m个正整数之和的划分数
int Q(int n, int m){
    if((n < 1) || (m < 1)){
        return 0;
    }
    
    if((n == 1) || (m == 1)){
        return 1;
    }
    
    if(n < m){
        return Q(n, n);
    }
    
    if(n == m){
        return Q(n, m-1) + 1;
    }
    
    return Q(n, m-1) + Q(n-m, m);
}

// 正偶整数之和的划分数
int EVEN(int n, int m){
    if(m > n || m <= 0){
        return 0;
    }
    
    if(((n == 1) && (m == 1)) || ((n == 2) && (m == 2))){
        return 0;
    }
    
    if((n == 2) && (m == 1)){
        return 1;
    }
    
    return ODD(n-m, m);
}

// 正奇整数之和的划分数
int ODD(int n, int m){
    if(m > n || m <= 0){
        return 0;
    }
    
    if((n == 2) && (m == 1)){
        return 0;
    }
    
    if(((n == 1) && (m == 1)) || ((n == 2) && (m == 2))){
        return 1;
    }
    
    return ODD(n-1, m-1) + EVEN(n-m, m);
}

int main()
{
    int n,m;
    cin >> n;
    cin >> m;
    
    int res1 = Q(n,m);//（1）（2）问答案相同
    int res2 = 0;//（3）（4）问答案相同
    for(int i=1;i<=n;i++){
        res2 += ODD(n,i);
    }
    
    cout << res1 << " " << res1 << " " << res2 << " " << res2;
    
    cout << endl;
    return 0;
}