游戏中两个常用的数学运算推导及算法推论

在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向。

向量a的大小记做|a|。

向量满足平行四边形定则（也叫三角形定则），即两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。

向量的数量积（又叫做点积或内积）是一个值，记做a·b，a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a和向量b的夹角，向量夹角的取值范围在0到π之间。

向量的向量积（又叫做外积或叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“^”），a×b的大小等于|a|·|b|·sin〈a，b〉。a×b的方向满足右手定则，即若坐标系满足右手定则（右手系）时，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向的方向就是a×b的方向。

若向量a=(xa, ya, za)，向量b=(xb,
yb, zb)，则a×b=(ya·zb-za·yb)i+(za·xb-xa·zb)j+(xa·yb-ya·xb)k，其中i，j，k分别为x，y，z轴的单位向量（长度为1，方向为坐标轴方向）

这里应用上面向量的知识，我们来判断平面上三个点的位置关系：

给定三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，设i，j分别为x轴和y轴的单位向量，向量AB=(x2-x1,
y2-y1)，向量AC=(x3-x1, y3-y1)，AB×AC（差乘）=[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]k=(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)k，因此当向量k的系数(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)大于0时，向量AB和向量AC的叉积沿z轴正向，小于0时，沿z轴负向，因此若z轴方向从屏幕所在平面内部指向外部，则根据右手定则，当系数(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)为正时，向量AB顺时针转动一个小于180度的角度后能够与AC同向：



也就是说点A->B->C按照逆时针的方向组成三角形。反之，如果系数(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)为负，则A->B->C按照顺时针方向组成三角形。如果系数(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)为0，则A、B、C三点共线（在同一直线上）。

利用上面得到的结论，我们得到下面的推论：

三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)不变，过A、B做一条直线，此时可以通过向量AB和AC叉积系数(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)的符号来区分点C在AB所在直线的哪一侧（我们可以理解为顺时针一侧或者逆时针一侧）。因此给定一系列的点C1，C2，C3……，可以通过计算叉积的系数来将这一系列的点分为两组，每组各位于AB所在直线的一侧。

 

下面是利用三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)的坐标和向量的知识求解三角形ABC面积的推导。

首先是正切的到角公式，我们记向量AB和AC的夹角为α，直线AB的斜率为kAB，直线AC的斜率为kAC，则有下面的公式：

tanα=(kAC-kAB) / (1+kAB·kAC)

倒角公式的推导如下：



如图，直线AB和x轴的夹角为β，AC和x轴的夹角为γ，则kAB=tanβ，kAC=tanγ，因此tanα=tan(γ-β)（三角形外角公式）

tan(γ-β)=(tanγ-tanβ)
/ (1+tanγ·tanβ)（两角和差的正切公式）

因此将kAB=tanβ，kAC=tanγ带入上面的式子得到到角公式。

接着来求三角形ABC的面积：

我们知道三角形的面积等于二分之一底乘高，我们以AB为底，高h=|AC|×|sinα|（注：|AC|为向量AC的长度），因此面积S=1/2 × |AB| × |AC| × |sinα|=1/2 × |AB| × |AC| × |cosα| × |sinα|
/ |cosα|，其中：

|AB| × |AC| × |cosα|=|AB·AC|（AB和AC的数量积的绝对值）=|(x3-x1)(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)|

|sinα| / |cosα|=|tanα|=|[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]/
[(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)]|

将上面两个式子带入到三角形面积的计算公式中，化简得到：

三角形面积S=1/2 × |x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2|，可以看到(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)正是我们前面推导三个点的位置关系时用到的系数。

此外，还可以联系行列式的知识来表示三角形的面积，(x1·y2+x2·y3+x3·y1-x1·y3-x2·y1-x3·y2)正是下面的三阶行列式的值：



 

如果有什么问题欢迎留言~