历年NOI/省选【水题】解题报告:NOI2012-随机数生成器
2016-12-01 22:48
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NOIp又一次考完了,省选又一次逼近了。
Xn+1=(aXn+c) mod m
其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出,这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质,因此这种方法被广泛地使用,包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性,不过心急的他仍然想尽快知道X
是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,…,g-1之间的,他需要将X
除以g取余得到他想要的数,即X
mod g,你只需要告诉栋栋他想要的数X
mod g是多少就可以了。
mod g
Xn+1=(aXn+c) mod m
由于mod先后无所谓,为了推理方便忽视之
不难发现:Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai
证明如下:
1. 归纳初始n = 0,显然
2. 归纳假设Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai=X0an+c(an−1)a−1,则
Xn+1=a(X0an+c(an−1)a−1)+c=X0an+1+c(an+1−a)a−1+c(a−1)a−1=X0an+1+c(an+1−1)a−1
由于归纳原理,原命题得证。
几个细节:
1. 由于m很大,为了避免相乘时溢出需要手写二分加法模拟乘法。
2. 对于Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai,左式可以用快速幂,右式则可以二分处理。注意到1+a+a2+a3+a4+a5,可以先处理p=1+a+a2,则原式=p+p×a3。
3. 复杂度为O((lgn)3)。
题目描述
栋栋最近迷上了随机算法,而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法(Linear Congruential Method)来生成一个随机数列,这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数Xn:Xn+1=(aXn+c) mod m
其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出,这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质,因此这种方法被广泛地使用,包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性,不过心急的他仍然想尽快知道X
是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,…,g-1之间的,他需要将X
除以g取余得到他想要的数,即X
mod g,你只需要告诉栋栋他想要的数X
mod g是多少就可以了。
【输入格式】
输入文件randoma.in中包含6个用空格分割的整数m,a,c,X[0],n和g,其中a,c,X[0]是非负整数,m,n,g是正整数。【输出格式】
输出到文件randoma.out中,输出一个数,即Xmod g
【样例输入】
11 8 7 1 5 3
【样例输出】
2
分析
应该算是省选-NOI中的SB题了吧……首先看Xn+1=(aXn+c) mod m
由于mod先后无所谓,为了推理方便忽视之
不难发现:Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai
证明如下:
1. 归纳初始n = 0,显然
2. 归纳假设Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai=X0an+c(an−1)a−1,则
Xn+1=a(X0an+c(an−1)a−1)+c=X0an+1+c(an+1−a)a−1+c(a−1)a−1=X0an+1+c(an+1−1)a−1
由于归纳原理,原命题得证。
几个细节:
1. 由于m很大,为了避免相乘时溢出需要手写二分加法模拟乘法。
2. 对于Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai,左式可以用快速幂,右式则可以二分处理。注意到1+a+a2+a3+a4+a5,可以先处理p=1+a+a2,则原式=p+p×a3。
3. 复杂度为O((lgn)3)。
Code
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; long long m, a, c, seed, n, g; long long gcd(long long a, long long b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a%b); } long long times(long long a, long long b, long long m) { if (b == 0) return 0; long long p = times(a, b>>1, m); p = (p+p)%m; if (b&1) p = (p+a)%m; return p; } long long power(long long a, long long b) { if (b == 0) return 1; long long p = power(a, b>>1); p = times(p, p, m); if (b&1) p = times(p, a, m); return p%m; } long long cnt(long long n) { if (n == 0) return 1; long long p = cnt((n-1)>>1); p = (p+times(p, power(a, ((n-1)>>1)+1), m))%m; if (!(n&1)) p = (p+power(a, n))%m; return p%m; } int main() { freopen("randoma.in", "r", stdin); freopen("randoma.out", "w", stdout); cin >> m >> a >> c >> seed >> n >> g; long long ans; if (a == 1) ans = times(seed, power(a, n), m)+times(c, n, m); else { ans = (times(seed, power(a, n), m)+times(c, cnt(n-1), m))%m; } cout << ans%m%g << endl; return 0; }
ELSE
其实用矩阵也可以处理,不过没有必要,数据小。相关文章推荐
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