跳跃表(skiplist)实现及简单分析
2016-12-08 19:54
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摘要:二叉搜索树是OI中最常用的数据结构之一,然而一个好的平衡树并不好写。因此链表+更多的指针成为了一种方便的替代品。skiplist即是基于这种思想的检索数据结构。
空间复杂度:期望O(n);
代码难度:略小于Treap;
灵活性:较差。
考虑一个地铁线路,从A1,A2,A3...An共n站。一个人想从Ai到达Aj,所需要乘坐站数是期望O(n)。现在市政府为了方便出行,新建了一些快速路线,允许快车跳过其中一些站而直接到达目的地,出行所需的期望站数会变成多少呢?
如图,现在加入某人从1站到6站,就不需要再一站一站走,而可以从快速路(1)直接由
现在考虑这样一种数据结构:它由若干层链表构成,最低端为第0层,存放原始数据;第i层在位置j有一个节点当且仅当i-1层也有这个节点。这样我们可以方便的定义各种二叉树操作:
查找:
从最顶端的第一个元素开始先向右试探,如果右侧值小于等于查找值,就向右转,否则向下,直到无路可走。
插入:
找到第一个比带插入元素小的元素的位置pos,用标准的链表插入法插入,再向上若干层重复插入。期间维护每一个边的长度(因为在靠上的地方一次跳跃很可能跳过很长距离)。
删除:
找到待删除元素位置pos,用标准的链表删除法删除,再向上若干层重复删除。期间维护每一个边的长度。
注意!在插入维护过程中要记录左端点左移量left_shift,以确定新的跳跃边长度;每一次维护要维护到顶!
前驱后继
同查找
k大,rank
类似查找。
期望层数
h=∑i=1∞i2i=∑i=1∞∑j=i−1∞12j=∑i=1∞12i−1=2
由于随机建立,查找类似于随机二分查找。用T(n)表示长度为n的序列的期望查找复杂度,有
T(n)=1n∑i=1n−1T(i)=O(lgn)
基本参数
时间复杂度:所有操作期望O(lgn);空间复杂度:期望O(n);
代码难度:略小于Treap;
灵活性:较差。
实现思想概述
网易公开课上 MIT算法导论课程中有着详细的介绍。考虑一个地铁线路,从A1,A2,A3...An共n站。一个人想从Ai到达Aj,所需要乘坐站数是期望O(n)。现在市政府为了方便出行,新建了一些快速路线,允许快车跳过其中一些站而直接到达目的地,出行所需的期望站数会变成多少呢?
快速路线: 1-------------------------->8 (2) 快速路线: 1---------->4-------------->8 (1) 原始路线: 1-->2-->3-->4-->5-->6-->7-->8 (0)
如图,现在加入某人从1站到6站,就不需要再一站一站走,而可以从快速路(1)直接由
1->4,再走原始线路即可。不难发现,如果每次建设的快速线路都平分上一条,出行的站数为O(lgn)。
现在考虑这样一种数据结构:它由若干层链表构成,最低端为第0层,存放原始数据;第i层在位置j有一个节点当且仅当i-1层也有这个节点。这样我们可以方便的定义各种二叉树操作:
查找:
从最顶端的第一个元素开始先向右试探,如果右侧值小于等于查找值,就向右转,否则向下,直到无路可走。
插入:
找到第一个比带插入元素小的元素的位置pos,用标准的链表插入法插入,再向上若干层重复插入。期间维护每一个边的长度(因为在靠上的地方一次跳跃很可能跳过很长距离)。
删除:
找到待删除元素位置pos,用标准的链表删除法删除,再向上若干层重复删除。期间维护每一个边的长度。
注意!在插入维护过程中要记录左端点左移量left_shift,以确定新的跳跃边长度;每一次维护要维护到顶!
前驱后继
同查找
k大,rank
类似查找。
细节及分析
Q:每次上移多少层?
A:据说有一种特别神奇的方法可以严格建立,但是我们有更好的解决策略——随机!每次决定是否再建一层,就抛一次硬币!期望层数
h=∑i=1∞i2i=∑i=1∞∑j=i−1∞12j=∑i=1∞12i−1=2
由于随机建立,查找类似于随机二分查找。用T(n)表示长度为n的序列的期望查找复杂度,有
T(n)=1n∑i=1n−1T(i)=O(lgn)
Q:如何防止第一个元素变动导致查询出错?
A:存一个−∞即可。Q:如何实现?
A:类似数组模拟邻接表的方法,加上一个down和length即可。代码
测试题目为luogu3369,普通平衡树#include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct node { int dat; // dat int bef, next; // pointer in line int down, up; // godown & up int length; // length to next node() { up = down = dat = length = bef = next = 0; //length = 1; } } skiplist[1000010]; const int MAX_STEP = 20; int top = 0; int lev_top = 0; int level() { int k = 0; while (rand()&1) k++; return min(MAX_STEP-1, k); } void push_dat_after(int nd, int dat, int down, int left_shift) { int aft = skiplist[nd].next; skiplist[++top].dat = dat; skiplist[top].bef = nd; skiplist[top].next = aft; skiplist[top].down = down; skiplist[down].up = top; skiplist[top].length = max(0, skiplist[nd].length-left_shift+1); skiplist[nd].length = left_shift; skiplist[nd].next = top; skiplist[aft].bef = top; } // push data after a node, with dat, down_element, and totle left_shift void init() { for (int i = 1; i <= MAX_STEP; i++) { skiplist[++top].down = lev_top; skiplist[lev_top].up = top; skiplist[top].dat = INT_MIN; lev_top = top; } // Build As -INF } int find_last_ls(int nd, int key) { if (!nd) return nd; else if (skiplist[nd].next && skiplist[skiplist[nd].next].dat < key) return find_last_ls(skiplist[nd].next, key); else if (skiplist[nd].down) return find_last_ls(skiplist[nd].down, key); else return nd; } // pre-element int find_first_gt(int nd, int key) { if (!nd) return nd; else if (skiplist[nd].next && skiplist[skiplist[nd].next].dat <= key) return find_first_gt(skiplist[nd].next, key); else if (skiplist[nd].down) return find_first_gt(skiplist[nd].down, key); else return skiplist[nd].next; } // succ-element void push_in(int k) { int left_pos = find_last_ls(lev_top, k), left_shift = 1, down = 0; int lev = level()-1; push_dat_after(left_pos, k, down, left_shift); down = top; for (int i = 1; i <= lev; i++) { while (!skiplist[left_pos].up) { left_pos = skiplist[left_pos].bef; left_shift += skiplist[left_pos].length; } // split the old links to build new ones... left_pos = skiplist[left_pos].up; push_dat_after(left_pos, k, down, left_shift); down = top; } while (skiplist[left_pos].bef || skiplist[left_pos].up) { while (!skiplist[left_pos].up) left_pos = skiplist[left_pos].bef; left_pos = skiplist[left_pos].up; skiplist[left_pos].length++; } // let those links that dont reached by this node know... } bool delete_ele(int k) { int pos = skiplist[find_last_ls(lev_top, k)].next; if (skiplist[pos].dat != k) return 0; int left_pos; for (int i = pos; i; i = skiplist[i].up) { skiplist[skiplist[i].bef].next = skiplist[i].next; skiplist[skiplist[i].next].bef = skiplist[i].bef; skiplist[skiplist[i].bef].length += skiplist[i].length-1; left_pos = skiplist[i].bef; } while (skiplist[left_pos].bef || skiplist[left_pos].up) { while (!skiplist[left_pos].up) left_pos = skiplist[left_pos].bef; left_pos = skiplist[left_pos].up; skiplist[left_pos].length--; } return 1; } int find_rank(int nd, int key) { if (!nd) return 0; if (skiplist[nd].dat == key) return 0; else if (skiplist[nd].next && skiplist[skiplist[nd].next].dat < key) return find_rank(skiplist[nd].next, key)+skiplist[nd].length; else if (skiplist[nd].down) return find_rank(skiplist[nd].down, key); else return 1; } int find_kth(int nd, int k) { if (!nd) return 0; if (k == 0) return skiplist[nd].dat; else if (skiplist[nd].next && skiplist[nd].length <= k) return find_kth(skiplist[nd].next, k-skiplist[nd].length); else return find_kth(skiplist[nd].down, k); } void println() { for (int k = lev_top; k >= 1; k--) { for (int i = k; i; i = skiplist[i].next) cout << skiplist[i].dat << " --" << skiplist[i].length << "-> " ; cout << endl; } } int main() { //freopen("output.txt", "w", stdout); srand(time(0)); init(); int n, a, x; cin >> n; int cnt = 0; int ord = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d%d", &a, &x); switch(a) { case 1: push_in(x);cnt++; break; case 2: if(!delete_ele(x)) {/*puts("Nothing to delete");*/} else cnt--;break; case 3: if (skiplist[skiplist[find_last_ls(lev_top, x)].next].dat != x)puts("0");else printf("%d\n", find_rank(lev_top, x)); break; case 4: if (x <= cnt) printf("%d\n", find_kth(lev_top, x)); else puts("0"); break; case 5: printf("%d\n", skiplist[find_last_ls(lev_top, x)].dat); break; case 6: printf("%d\n", skiplist[find_first_gt(lev_top, x)].dat); break; case 7: println(); break; } } return 0; }
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