CODE[VS] 最长公共上升子序列（LCIS）(序列型DP)

2185 最长公共上升子序列

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题目等级 : 钻石 Diamond

题解

题目描述 Description

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们要研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个串A，B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数字，且数字是严格递增的，那么称这一段数字是两个串的公共上升子串，而所有的公共上升子串中最长的就是最长公共上升子串了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子串。不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

输入描述 Input Description

第一行N，表示A，B的长度。

第二行，串A。

第三行，串B。

输出描述 Output Description

输出长度。

样例输入 Sample Input

4

2 2 1 3

2 1 2 3

样例输出 Sample Output

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

1<=N<=3000，A，B中的数字不超过maxlongint

思路：

dp[i][j] 表示串a的前i个元素和串b的前j个元素且以b[j]为末尾的最长公共上升子序列的长度。这样我们可以知道b串每个元素的最优解，而且一定存在a串与b串都存在最优解。

方程：

1、dp[i][j] = dp[i-1][j](a[i] != b[j]) 2、dp[i][j] = max(dp[i-1][j],maxn) (a[i] >　b[j]) 3、dp[i][j] = maxn + 1;(a[i] == b[j])

首先如果元素不同的话，当前状态不变。这时候我们就判一下当前的状态是否可以更新最大值，不断更新。

其次，如果两元素相同，两串的LCS的长度加1。为什么呢，因为这样不会令答案更差。

然后我们发现，下一个的状态是取决于上一个的，也就是由dp[i-1][j-1]转移而来的，那么我们也可以采取滚动数组的形式来优化一维空间，就像背包问题那样。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3000 + 10;
int n,a[maxn],b[maxn],dp[maxn];
int main()
{
scanf("%d",&n);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i = 1;i <= n;i ++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1;i <= n;i ++)
scanf("%d",&b[i]);
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
int maxn = 0;
for(int j = 1;j <= n;j ++)
{
if(a[i] > b[j]) maxn = max(maxn,dp[j]);
if(a[i] == b[j]) dp[j] = maxn + 1;
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
ans = max (ans,dp[i]);
printf("%d",ans);
return 0;
}