CCF 201609-4 交通规划

原文地址: http://moilk.org/blog/2016/10/27/ccf2016094/

问题描述

　　G国国王来中国参观后，被中国的高速铁路深深的震撼，决定为自己的国家也建设一个高速铁路系统。

　　建设高速铁路投入非常大，为了节约建设成本，G国国王决定不新建铁路，而是将已有的铁路改造成高速铁路。现在，请你为G国国王提供一个方案，将现有的一部分铁路改造成高速铁路，使得任何两个城市间都可以通过高速铁路到达，而且从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长。请你告诉G国国王在这些条件下最少要改造多长的铁路。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示G国城市的数量和城市间铁路的数量。所有的城市由1到n编号，首都为1号。

　　接下来m行，每行三个整数a, b, c，表示城市a和城市b之间有一条长度为c的双向铁路。这条铁路不会经过a和b以外的城市。

输出格式

　　输出一行，表示在满足条件的情况下最少要改造的铁路长度。

样例输入

　　4 5

　　1 2 4

　　1 3 5

　　2 3 2

　　2 4 3

　　3 4 2

样例输出

　　11

评测用例规模与约定

　　对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 50；

　　对于50%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 5000；

　　对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 50000；

　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000。输入保证每个城市都可以通过铁路达到首都。

解题说明

　　先看一下题目，“所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长”，说明结果满足单源最短路径；“最少要改造多少铁路”，说明是要在最短路径中找最小花费。如下图所示，点1到点3的最短路径是4，要连通点3，1-2-3、1-3和1-4-3都是最短路径。但是如果选1-3，需要增加的铁轨为4个单位；选1-2-3需要增加的铁轨为2个单位；而选1-4-3的话，需要增加的铁轨只有1个单位。所以此时应该选最后一种方案。

　　


　　程序实现上只需要对dijkstra算法增加一点代码就可以。我们用D算法不是要得到最短路径，而是要得到最短路径下连通每个点所增加的最小的边是多少。如果用costo[v]表示连通v点所增加的边的权重，比如上图中costo[3]=1。当遇到上述多种选项时，也就是disto[v]==disto[u]+cost时，让costo[v]=min(costo[v],cost)，这样最终得到的costo[v]就是满足最短路径条件下的最小花费。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>

#define NMAX 10005
#define INTMAX 0x7fffffff

using namespace std;

// v表示节点，cost表示出发点到v点的距离
struct Node {
int v;
int cost;
Node(int vv = 0, int c = 0) {
v = vv, cost = c;
}
// 优先队列将按距离从小到大排列
friend bool operator<(Node n1, Node n2) {
return n1.cost > n2.cost;
}
};

// v表示边的另一端节点，cost表示该边的权重
struct Edge {
int v;
int cost;
Edge(int vv = 0, int c = 0) {
v = vv, cost = c;
}
};

vector<Edge>G[NMAX];    // 无向图
bool marked[NMAX];      // D算法中每个顶点仅处理一遍
int disto[NMAX];        // 出发点到某点距离
int costo[NMAX];        // 接通该点需要增加的边的权重
int N, M;

void dijkstra(int s) {
for (int i = 0; i <= N; i++) {
costo[i] = disto[i] = INTMAX;
marked[i] = false;
}
disto[s] = 0;
costo[s] = 0;
priority_queue<Node>pq;     // 保存<v,disto[v]>且按disto[v]升序排列
pq.push(Node(s, 0));
marked[0]=true;

Node tmp;
while (!pq.empty()) {
tmp = pq.top();
pq.pop();
int v = tmp.v;
if (!marked[v]) {
marked[v]=true;
int len = G[v].size();
for (int i = 0; i < len; i++) {
int vv = G[v][i].v;
if(marked[vv])
continue;
int cost = G[v][i].cost;
int newdist = disto[v] + cost;
if (disto[vv] > newdist) {
disto[vv] = newdist;
costo[vv] = cost;   // 增加的内容
pq.push(Node(vv, disto[vv]));
}
// 增加的内容
// 加入点vv时若出现多种距离相同的方案，选取新边最小那个
if (disto[vv] == newdist) {
costo[vv] = min(costo[vv], cost);
}
}
}
}
}

int main(void) {
cin >> N >> M;

int s, e, c;
for (int i = 0; i < M; i++) {
cin >> s >> e >> c;
G[s].push_back(Edge(e, c));
G[e].push_back(Edge(s, c));
}
dijkstra(1);

// 统计边权重
int res = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
res += costo[i];
}
cout << res << endl;

return 0;
}