HDU 2604 递推 + 矩阵快速幂

HDU 2604

题解:首先， 记长为n的队列的K队列数为f(n);

易求得:f(0) = 0, f(1) = 2, f(2) =  4, f(3) = 6, f(4) = 9.

当n >= 5时， 运用递推关系可推出：
f(n) = f(n - 1) + f(n - 3) + f(n - 4);

具体推导过程如下：

设f(n)为字符串长度为n时复合条件的字符串个数，以字符串最后一个字符为分界点，当最后一个字符为m时前n-1个字符没有限制，即为f(n-1)；当最后一个字符为f时就必须去除最后3个字符是fmf和fff的情况,在考虑最后两个字符为mf和ff的情况，显然不行；最后3个字符为fmf、mmf和fff、mff时只有当最后3个字符为mmf时前n-3个字符没有限制，即为f(n-3)，当为mff时第n-3个字符可能为f因而对前n-3个字符串有限制；最后4个字符为fmff和mmff时mmff可行。这样就讨论完了字符串的构成情况，得出结论：
f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)
然后就像fibonacci那样构建矩阵用快速幂取模。。。





code:

/*
adrui's submission
Language : C++
Result : Accepted
Love : ll
Favorite : Dragon Balls

Standing in the Hall of Fame
*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;

#define debug 0
#define LL long long
#define mod 7
#define M(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

const int maxn = 20 + 5;
int a, b;

struct Matrix {
int mat[4][4];
void init() {
M(mat, 0);
for (int i = 0; i < 4; i++)
mat[i][i] = 1;
}
};

Matrix operator * (Matrix a, Matrix t) {				//矩阵乘法
Matrix c;
M(c.mat, 0);

for (int i = 0; i < 4; i++)
for (int j = 0; j < 4; j++)
{
for (int k = 0; k < 4; k++)
c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * t.mat[k][j]) % b;
c.mat[i][j] %= b;
}

return c;
}
Matrix operator ^ (Matrix tmp, int b) {					//快速幂
Matrix res;
res.init();

while (b) {
if (b & 1) res = res * tmp;
tmp = tmp * tmp;
b >>= 1;
}

return res;
}
int main() {
#if debug
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif //debug

int ans[] = { 0, 2, 4, 6, 9 };
while (~scanf("%d%d", &a, &b)) {
Matrix tmp;
M(tmp.mat, 0);										//构造底数矩阵
tmp.mat[0][0] = tmp.mat[2][0] = tmp.mat[3][0] = 1;
tmp.mat[0][1] = 1;
tmp.mat[1][2] = 1;
tmp.mat[2][3] = 1;

if (a < 4)											//直接输出
printf("%d\n", ans[a] % b);
else{
Matrix res = tmp ^ (a - 4);						//快速幂

int ans1 = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
ans1 = (ans1 + ans[4 - i] * res.mat[i][0]) % b;		//和初始矩阵相乘
}

printf("%d\n", ans1);							//ans
}
}
return 0;
}