ZOJ 3690 & HDU 3658 （矩阵快速幂+公式递推）

ZOJ 3690

题意：

有n个人和m个数和一个k，现在每个人可以选择一个数，如果相邻的两个人选择相同的数，那么这个数要大于k

求选择方案数。

思路：

打表推了很久的公式都没推出来什么可行解，好不容易有了想法结果WA到天荒地老也无法AC。。

于是学习了下正规的做法，恍然大悟。

这道题应该用递推 + 矩阵快速幂。

我们设F(n) = 有n个人，第n个人选择的数大于k的方案数；

G(n) = 有n个人，第n个人选择的数小于等于k的方案数；

那么递推关系式即是：

F(1)=m−k,G(1)=kF(1) = m - k ,G(1) = k

F(n)=(m−k)∗F(n−1)+(m−k)∗G(n−1)F(n) = (m-k)*F(n-1)+(m-k)*G(n-1)

G(n)=k∗(n−1)+(k−1)∗G(n−1)G(n) = k *(n-1)+(k-1)*G(n-1)

ans=F(n)+G(n)ans = F(n)+G(n)

变换矩阵如下：

(m−kkm−kk−1)∗(F(n−1)G(n−1))=(F(n)G(n))\left(
\begin{array}{ccc}
m-k&m-k\\
k&k-1\\
\end{array}
\right)
*
\left(
\begin{array}{ccc}
F(n-1)\\
G(n-1)\\
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{ccc}
F(n)\\
G(n)\\
\end{array}
\right)

代码君：

[code]/*
* @author FreeWifi_novicer
* language : C++/C
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

#define clr( x , y ) memset(x,y,sizeof(x))
#define cls( x ) memset(x,0,sizeof(x))
#define mp make_pair
#define pb push_back
typedef long long lint;
typedef long long ll;
typedef long long LL;

const lint mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 4;
lint n,m,k;

struct Matrix{
    int n , m ;
    lint a[maxn][maxn];
    Matrix( int n , int m ){
        this->n = n ;
        this->m = m ;
        cls(a);
    }
    Matrix operator * ( const Matrix &tmp ){
        Matrix res( n , tmp.m );
        for( int i = 0 ; i  < n ; i++ )
            for( int j = 0 ; j < tmp.m ; j++ )
                for( int k = 0 ; k < m ; k++ )
                    res.a[i][j] = ( res.a[i][j] + ( a[i][k] * tmp.a[k][j] ) % mod ) % mod;
        return res;
    }
};

void Matrix_print( Matrix x ){
    for( int i = 0 ; i < x.n ; i++ ){
        for( int j = 0 ; j < x.m ; j++){
            cout << x.a[i][j] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
Matrix fast_pow( Matrix x , lint n ){
    Matrix res( x.n , x.m );
    for( int i = 0 ; i < x.n ; i++ ) res.a[i][i] = 1;
    while( n ){
        if( n & 1 )
            res = res * x;
        x = x * x;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

void solve(){
    Matrix base( 2 , 1 );
    Matrix fun( 2 , 2 );
    fun.a[0][0] = m - k ; 
    fun.a[0][1] = m - k ;
    fun.a[1][0] = k ;
    fun.a[1][1] = k - 1 ;
    base.a[0][0] = m - k ; 
    base.a[1][0] = k ;
    fun = fast_pow( fun , n - 1);
    base = fun * base ;
    cout << (base.a[1][0] + base.a[0][0]) % mod << endl;
}
int main(){
//  freopen("input.txt","r",stdin);
    while(cin >> n >> m >> k){
        solve();
    }
    return 0;
}

HDU 3658

题意：

在52个英文字母里面选择m个字母组成一个字符串。

满足以下两个条件：

一、相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值小于等于32（比如说X与x的码值差为32）；

二、至少要有一对的字符的绝对值为32。

思路：

分两步：先求出满足条件一的方案数，再减去相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值**小于**32的方案数即可。

第一步：

我们设Fc(n)F_c(n) = 有n个字符，第n个字符为c的满足条件一方案数；

那么

FA(n)=FA(n−1)+FB(n−1)+FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)F_A(n) = F_A(n-1) + F_B(n-1)+ F_C(n-1) +...+ F_Z(n-1)+F_a(n-1)

FB(n)=FA(n−1)+FB(n−1)+FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)F_B(n) = F_A(n-1) + F_B(n-1)+ F_C(n-1) +...+ F_Z(n-1)+F_a(n-1)+F_b(n-1)

FC(n)=FA(n−1)+FB(n−1)+FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)+Fc(n−1)F_C(n) = F_A(n-1) + F_B(n-1)+ F_C(n-1) +...+ F_Z(n-1)+F_a(n-1)+F_b(n-1)+F_c(n-1)

…

FZ(n)=FA(n−1)+FB(n−1)+FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)+Fc(n−1)+...+Fz(n−1)F_Z(n) = F_A(n-1) + F_B(n-1)+ F_C(n-1) +...+F_Z(n-1)+ F_a(n-1)+F_b(n-1)+F_c(n-1)+...+F_z(n-1)

Fa(n)=FA(n−1)+FB(n−1)+FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)+Fc(n−1)+...+Fz(n−1)F_a(n) = F_A(n-1) + F_B(n-1)+ F_C(n-1) +...+F_Z(n-1)+ F_a(n-1)+F_b(n-1)+F_c(n-1)+...+F_z(n-1)

Fb(n)=FB(n−1)+FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)+Fc(n−1)+...+Fz(n−1)F_b(n) = F_B(n-1)+ F_C(n-1) +...+F_Z(n-1)+ F_a(n-1)+F_b(n-1)+F_c(n-1)+...+F_z(n-1)

Fc(n)=FC(n−1)+...+FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)+Fc(n−1)+...+Fz(n−1)F_c(n) =F_C(n-1) +...+F_Z(n-1)+ F_a(n-1)+F_b(n-1)+F_c(n-1)+...+F_z(n-1)

…

Fz(n)=FZ(n−1)+Fa(n−1)+Fb(n−1)+Fc(n−1)+...+Fz(n−1)F_z(n) =F_Z(n-1)+ F_a(n-1)+F_b(n-1)+F_c(n-1)+...+F_z(n-1)

然后建立矩阵变换快速幂搞下就行。。这个矩阵太庞大我就不画了。。

第二步：

我们设Gc(n)G_c(n) = 有n个字符，第n个字符为c的相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值**小于**32的方案数；

那么

GA(n)=GA(n−1)+GB(n−1)+GC(n−1)+...+GZ(n−1)G_A(n) = G_A(n-1) + G_B(n-1)+ G_C(n-1) +...+ G_Z(n-1)

GB(n)=GA(n−1)+GB(n−1)+GC(n−1)+...+GZ(n−1)+Ga(n−1)G_B(n) = G_A(n-1) + G_B(n-1)+ G_C(n-1) +...+ G_Z(n-1)+G_a(n-1)

GC(n)=GA(n−1)+GB(n−1)+GC(n−1)+...+GZ(n−1)+Ga(n−1)+Gb(n−1)G_C(n) = G_A(n-1) + G_B(n-1)+ G_C(n-1) +...+ G_Z(n-1)+G_a(n-1)+G_b(n-1)

…

GZ(n)=GA(n−1)+GB(n−1)+GC(n−1)+...+GZ(n−1)+Ga(n−1)+Gb(n−1)+Gc(n−1)+...+Gy(n−1)G_Z(n) = G_A(n-1) + G_B(n-1)+ G_C(n-1) +...+G_Z(n-1)+ G_a(n-1)+G_b(n-1)+G_c(n-1)+...+G_y(n-1)

Ga(n)=GB(n−1)+GC(n−1)+...+GZ(n−1)+Ga(n−1)+Gb(n−1)+Gc(n−1)+...+Gz(n−1)G_a(n) = G_B(n-1)+ G_C(n-1) +...+G_Z(n-1)+ G_a(n-1)+G_b(n-1)+G_c(n-1)+...+G_z(n-1)

Gb(n)=GC(n−1)+...+GZ(n−1)+Ga(n−1)+Gb(n−1)+Gc(n−1)+...+Gz(n−1)G_b(n) = G_C(n-1) +...+G_Z(n-1)+ G_a(n-1)+G_b(n-1)+G_c(n-1)+...+G_z(n-1)

…

Gz(n)=Ga(n−1)+Gb(n−1)+Gc(n−1)+...+Gz(n−1)G_z(n) = G_a(n-1)+G_b(n-1)+G_c(n-1)+...+G_z(n-1)

建立变换矩阵，而后快速幂。

ans=∑i<=zi=AFi(n)−∑i<=zi=AGi(n)ans=\sum_{i=A}^{i<=z} F_i(n)-\sum_{i=A}^{i<=z} G_i(n)

代码君：

[code]/*
* @author FreeWifi_novicer
* language : C++/C
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

#define clr( x , y ) memset(x,y,sizeof(x))
#define cls( x ) memset(x,0,sizeof(x))
#define mp make_pair
#define pb push_back
typedef long long lint;
typedef long long ll;
typedef long long LL;

const int maxn = 54 ;
const lint mod = 1e9 + 7;
lint n ;

struct Matrix{
    int n , m ;
    lint a[maxn][maxn];
    Matrix( int n , int m ){
        this->n = n ;
        this->m = m ;
        cls(a);
    }
    Matrix operator * ( const Matrix &tmp ){
        Matrix res( n , tmp.m );
        for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
            for( int j = 0 ; j < tmp.m ; j++ )
                for( int k = 0 ; k < m ; k++ )
                    res.a[i][j] = ( res.a[i][j] + ( a[i][k] * tmp.a[k][j] ) % mod ) % mod;
        return res;
    }
};

Matrix fast_pow( Matrix x , lint n ){
    Matrix res( x.n , x.m );
    for( int i = 0 ; i < x.m ; i++ ) res.a[i][i] = 1 ;
    while( n ){
        if( n & 1 )
            res = res * x;
        x = x * x ; 
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

void solve(){
    if( n == 2 ){
        cout << 52 << endl;
        return;
    }
    Matrix base( 52 , 1 );
    Matrix base1( 52 , 1 );
    Matrix base2( 52 , 1 );
    Matrix fun( 52 , 52 );
    for( int i = 0 ; i < 52 ; i++ ) base.a[i][0] = 1;
    for( int i = 0 ; i < 26 ; i++ ){
        for( int j = 0 ; j < 27 + i ; j++ )
            fun.a[i][j] = 1;
    }
    for( int i = 26 ; i < 52 ; i++ ){
        for( int j = 51 ; j >= i - 26 ; j-- )
            fun.a[i][j] = 1;
    }
    fun = fast_pow( fun , n - 1 );
    base1 = fun * base ;
    lint sum1 = 0;
    cls(fun.a);
    for( int i = 0 ; i < 52 ; i++ ) sum1 = ( sum1 + base1.a[i][0] ) % mod;
    for( int i = 0 ; i < 26 ; i++ ){
        for( int j = 0 ; j < 26 + i; j++ )
            fun.a[i][j] = 1;
    }
    for( int i = 26 ; i < 52 ; i++ ){
        for( int j = 51 ; j >= i - 25 ; j-- )
            fun.a[i][j] = 1;
    }
    fun = fast_pow( fun , n - 1 );
    base2 = fun * base ;
    lint sum2 = 0;
    for( int i = 0 ; i < 52 ; i++ ) sum2 = ( sum2 + base2.a[i][0] ) % mod;
    lint ans = ( sum1 - sum2 + mod ) % mod ;
    cout << ans << endl;
}
int main(){
  //freopen("output.txt","w+",stdout);
    int t ; cin >> t;
    while( t-- ){
        cin >> n ;  
        solve();
    }
    return 0;
}