【NOIP2016提高A组模拟9.24】天使的分裂 （矩阵乘法）

Description



Input

一个整数n

Output

一行，一个整数，表示第0天到第n天的评估函数的值的和。

Sample Input

Input 1

5

input 2

666666

Input 3

2147483648

Sample Output

Output 1

76

Output 2

324016098

Output 3

932937567

Data Constraint

1<=n<=1018

The Solution

一道矩阵乘法的例题啊，总算会手打矩阵了。。。

我们可以用F[i-1] 和 F[i-2]代换F[i]

递推式很简单：

Fn=Fn−1+Fn−2+fi

然后我们使用矩阵乘法，就可以优化为O(log2n)了

矩阵乘法是这样用的。。记下怕忘了。。个人较low

一个矩阵 * 一个有矩阵，可以推出一个新矩阵。

如上面的递推式，我们可以手玩一下：

f[i-1],f[i],F[i-1],F[i],sum

*	f[i-1]	f[i]	F[i-1]	F[i]	sum
f[i-1]
f[i]
F[i-1]
F[i]
sum

要使这个矩阵乘上一个矩阵推得Fn=Fn−1+Fn−2+fi

而矩阵乘法是A矩阵的每一个数*有矩阵的第i列的每一个数 加起来的和，为新矩阵的第i个数。

矩阵怎么推的日后再补。。。

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define fo(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i ++)
#define mo 998244353

using namespace std;

typedef long long ll;

ll n;

struct node{ll wz[5];}ans;//f[i-1],f[i],F[i-1],F[i],sum
int Matrix[5][5] =
{
{0,1,0,0,0},
{1,1,1,1,0},
{0,0,0,1,0},
{0,0,1,1,0},
{1,1,1,1,1}
};
int jz[5][5],t[5][5];

void Mult()
{
node c;
memset(c.wz,0,sizeof(c.wz));
fo(i,0,4)
fo(j,0,4)
c.wz[i] = (c.wz[i] + (ll)ans.wz[j] * jz[i][j] % mo) % mo;
memcpy(ans.wz,c.wz,sizeof(ans.wz));
}

void Mult2()
{
memset(t,0,sizeof(t));
fo(i,0,4)
fo(j,0,4)
fo(k,0,4)
t[i][j] = (t[i][j] + (ll)jz[i][k] * jz[k][j] % mo) %mo;
memcpy(jz,t,sizeof(jz));
}

void mi(ll n)
{
for (;n;n /= 2,Mult2())
if (n & 1) Mult();
}

int main()
{
scanf("%lld",&n);
memcpy(jz,Matrix,sizeof(jz));
ans.wz[0] = 1;
ans.wz[1] = 2;
ans.wz[2] = 1;
ans.wz[3] = 1;
ans.wz[4] = 3;
if (n==0)
{
printf("1");
return 0;
}
mi(-- n);
printf("%lld\n",ans.wz[4]);
return 0;
}