关于有理式部分分式化解的初步理解

在一元函数求积分的部分，常常需要对分母为函数多项式的形式进行求积分。比如对f(x)=1/(x2+3x+2) 进行积分，我们可以将f(x)因式分解为：f(x)=1/(x+1)(x+2),然后就能拆开成f(x)=1/(x+1)−1/(x+2),这样就是可积的类型了。

问题在于，只有两项且最高次均为一次的情况，我们太常见，因此，都不用过多思考。

但是如果是三次，四次，又当如何？

我的猜想，因为没有找到好的教材，只好拍脑袋想了。

每一个式子，必有它的一次，二次，直到最高次。

比如：f(x)=1/(x2−1)2 ,该怎么拆分。

我们知道f(x)=1/(x−1)2(x+1)2 所以可以化为的分式有A/(x−1),B/(x−1)2,C/(x+1),D/(x+1)2.

然后再用待定系数法求得A,B,C,D.

再比如，之前一直很难理解的一个问题：

f(x)=1/x(x−1)2,按照上面的思路就豁然开朗了：化为A/x+B/(x−1)+C/(x−1)2

也是用待定系数法解决。

这里的分子都是1，是不是意味着只有分子为1的时候才适用？不是的，如果分子的最高次比分母高，一定可以划出一个整数，其他的分子比分母次数低。比分母次数低的，我们再按照上面的拆项，待定系数，则问题立马可解了。

以上。