HDU 1573 X问题 [一元线性同余方程组]【数论】

题目链接：http://vjudge.net/contest/132006#problem/I

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I - X问题

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求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

3

10 3

1 2 3

0 1 2

100 7

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

10000 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1

0

3

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题目大意：中文题 不解释

解题思路 :

裸的解一元线性同余方程组

不同于中国剩余定理 因为a[i]不互质

不懂如何解一元线性同余方程组的可以看这篇博客 http://m.blog.csdn.net/article/details?id=50887445

其实还是很好懂的 明白了如何处理3个式子 就明白了

但注意的是最后的结果问的是(0,N]之间有多少个满足的X值的个数而不是X的值 Ps:正整数 不能算0…

附本题代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL ;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pb push_back

#define lalal puts("*******");
/*************************************/

const int MOD = 1e9+7;
const int M = 1e5+10;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
else
{
int r = exgcd(b,a%b,x,y);
int t = x;
x = y;
y = t - (a/b)*y;
return r;
}
}
LL a[11],b[11];

LL gcd(int a,int b)
{
if(!b) return a;
else   return gcd(b,a%b);
}
LL lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}

int main()
{
int _;
scanf("%d",&_);
while(_--)
{
int n,m;
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%I64d",&a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%I64d",&b[i]);

bool flag = 1;
LL x,y,r,t,m0=1;
int a1,b1,c1;
for(int i=0;i<n;i++)
m0=lcm(m0,a[i]);

for(int i=1;i<n&&flag;i++)
{
a1 = a[0],b1 = a[i],c1=b[i]-b[0];
r = exgcd(a1,b1,x,y);

if(c1%r!=0) flag = 0;

t = b1/r;
x=(x*(c1/r)%t+t)%t;
b[0]=a[0]*x+b[0];
a[0]=a[0]*(a[i]/r);
}

int sum = 0;
b[0]%=m0 ;

if(b[0]<=m)         sum = 1+(m-b[0])/m0;
if(sum&&b[0]==0)    sum--;  //正整数 不能有0

if(!flag)     puts("0");
else printf("%d\n",sum);

}
return 0;
}