最小生成树——Prim算法

最小生成树

如有不足，欢迎指正。

 

先来看一张图。



我们要给1-7这7个城市修路，使得任意两个城市之间都可达，并且要使总花费最小，现在告诉你从a城市到b城市修一条路花费为c。

那么问题来了，你要如何使得城市既能两两连通又花费最小呢？

要暴力列举吗？写下任何一种可行的情况去汇总比较？

No，No，No，早已在1957年普里姆同学就已经解决了这个问题，为了纪念小普同学，后来人们就把这种算法叫做普里姆算法，为小普同学鼓掌。

ok，我们就来看看小普同学是如何解决这个问题的。

首先，我们需要一个节点，假设从节点1开始。找出代价最小的一条。1 ，2 ，8 ，10，很明显1和2之间修路代价最小。此时，花费为1.


注：dis[]数组存放的是所有已遍历节点与节点1-7可达的最小值。

现在修建到节点3的最小代价为2，节点4的最小代价为8，节点5的最小代价为10，节点6无路可走，节点7最小代价为8，修建1和3之间的公路。此时，花费为3.


注：已遍历节点dis[]值不再改变。

此时，对于节点4我们既可以修建1->4,也可以修建3->4，但3->4代价最小因此dis[4]=2；同理dis[5]=1;此时，花费为4.



花费为5；      sum=1+2+1+1



花费为9；



花费为14；



 

OK，到现在修路结束，我们的总花费为14.怎么样？看懂了吗？

算法代码部分

#define INF 0x3f3f3f3f
int Map[110][110];//记录节点间关系，可达记为1，否则记为0；
bool vis[110];//记录节点是否被遍历；
int dis[110];
void Prim()
{
memset(vis,false,sizeof(vis));
int i,j;
int sum=0;//记录最小花费
//将1节点与其余节点的可达关系存入到dis数组；
for(i=1; i<=n; i++)
dis[i]=Map[1][i];
vis[1]=true;
for(i=1; i<n; i++)
{
int m=INF;//记录i节点与其余节点的最短可达代价
int pos;
//寻求与i节点有关的代价最小的节点
//若节点存在，pos记录该节点的位置，m记录可达代价
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(!vis[j]&&dis[j]<m)
pos=j,m=dis[j];
}
if(m==INF) break;//查找结束
vis[pos]=true;
sum+=m;//计算到当前为止所花费的代价

for(j=1;j<=n;j++)//更新dis；
if(!vis[j]&&dis[j]>Map[pos][j])
dis[j]=Map[pos][j];
}
printf("%d\n",sum);
}

 

SDUT上一道最小生成树的题，有空可以做一做。

图结构练习——最小生成树