最小生成树之Prim算法详解

最小生成树之Prim算法

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。
算法思想：
1) .输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，在顶点集合V中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

图例说明：
      原图：              
                             
                

           
       第一步：找一个A点，找与A点距离最短的点C，<A,C>为1，连接
               


        第二步：找与A,C距离最近的点且连接没有回路的点，为F，<C,F>为4，连接
   
              


          第三步：找与A,C，F距离最近的点且连接没有回路的点，为D，<F,D>为2，连接
                 

                  
           第四步：找与A,C，F，D距离最近的点且连接没有回路的点，为B，<C,B>为5，连接
                       


          第五步：找与A,B，C，F距离最近的点且连接没有回路的点，为E，<B,E>为3，连接
            


时间复杂度：Prim的时间复杂度为O（n*n）,与网中的边数无关，因此适用于求变稠密的网的最小生成树
代码如下：int Prim(int k)
{int v[1005];//保存点
int b[1005]://保存最短路径
memset(v,0,sizeof(v));
v[k]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=a[k][i];
b[k]=0;
int sum=0,l;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int max=0x3f3f;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!v[j]&&b[j]<max) //求当前最短路径
{
l=j; //求当前最短路径的点
max=b[j];
}
}
if(!v[l])
sum+=b[l]; //求出当前最短路径后加在一起
v[l]=1; //保存当前的点
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!v[j]&&b[j]>a[l][j]) //更新
b[j]=a[l][j];
}
}
return sum;
}