基于树的查找(二叉排序树、平衡二叉树、B树、B+树、伸展树和红黑树)

本文主要介绍几种比较重要的树形结构：

① 二叉排序树 ② 平衡二叉树 ③ B树 ④ B+树

⑤ 伸展树 ⑥ 红黑树

分为三个问题来描述每种树：

① 是什么？主要应用？ ② 有什么特点(性质)？ ③ 基于它的操作？

Ⅰ 二叉排序树(BST)：

二叉排序树又称为二叉查找树，是一种高效的数据结构。是一种特殊的二叉树。



特点(性质)：



注意：要先判断题目给定的二叉排序树是否为空树！

二叉排序树采用二叉链表作为存储结构：



二叉链表分为3个域：左孩子、右孩子和数据域。

基于二叉排序树的算法：



详细解释以及需要注意的地方：

关于比较复杂的删除的最后一种情况，也就是待删结点既有左子树又有右子树的情况：

(1)中序遍历，找出待删结点的直接前驱和直接后继结点。

(2)可以用前驱结点和后继结点中的任何一个来替换待删结点。

(3)过程是先将待删结点换成前驱(后继)结点，再将原来前驱(后继)结点删除，删除的过程转化成了较简单的前两种情况。

性能分析：动态查找效率高



Ⅱ 平衡二叉树 (AVL)：

由于二叉排序树的结点分布不均衡，导致会出现最坏时间复杂度，所以经过改进产生平衡二叉树。平衡二叉树不受输入序列和插入结点的影响，始终保持平衡状态。

平衡因子：BF( Node) 表示结点的平衡因子

BF( Node) = Node的右子树高度 - Node的左子树高度 。





如图，是一个AVL的例子，其中圆圈里边的数字代表BF，外边的数字代表Node真正的值。有n个结点，树的高度为

，时间复杂度为

。

当经过插入或者删除操作破坏了平衡二叉树的平衡之后，需要通过一系列操作来调整使其依旧保持平衡。



1.LL型详解：







同上，对于RL类型，采用相同的分析方法，不同之处在于RL类型先顺时针旋转，再逆时针旋转。

在从0创建平衡二叉树的过程中，基于插入算法，判断是哪种插入类型的时候是根据 | BF(Node) |=2的结点来判断的。

平衡二叉树的删除比较麻烦，待更。

Ⅲ B树

B树不是二叉树而是树，是一种多路平衡查找树，即树的分支多于二叉且所有叶子结点在同一层上。B树在文件系统和数据库系统中使用较多，适用于组织动态的索引结构。

用m来表示B树的阶，即所有结点中拥有孩子最多的那个结点的孩子总数。



以上是一个B树的例子，在上图中，蓝色框体中标记的数字表示含有元素的个数。



综上可得：整个B树可以看成一个递增序列，结点左边的数一定小于结点本身，结点右边的数一定大于结点本身。



关于key在叶子结点，直接删的过程，又分为三种情况。



旋转指的是，将待删的结点删除后，取右兄弟结点最小值上移，将原父结点放在已删结点的位置，即逆时针旋转。或者将左兄弟节点的最大值上移，将原父结点放在已删结点的位置，即顺时针旋转。

Ⅳ B+树

B树的变种，应用在多种文件系统中。



上图表示简单的B+树，从图中可以看出，所有的关键字都会出现在叶子结点中，上层关键字是下层最大值的复写(也可以是最小值的复写)。

查找的方法：

(1)可以从最小关键字起按顺序查找

(2)可以从根结点开始随机查找

关于伸展树、红黑树、以及平衡二叉树的删除、待更！