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二叉树,完全二叉树,满二叉树,二叉排序树,平衡二叉树,红黑树,B数,B-树,B+树,B*树(二)

2016-08-26 13:08 555 查看
二叉树,完全二叉树,满二叉树,二叉排序树,平衡二叉树,红黑树,B数,B-树,B+树,B*树(一):


http://blog.csdn.net/yuxin6866/article/details/52327328


BST树

       即二叉搜索树:

       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子(Left和Right);

       2.所有结点存储一个关键字;

       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树,右指针指向大于其关键字的子树;

       如:

       



       BST树的搜索,从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;

否则,如果查询关键字比结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入

右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;

       如果BST树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多(平衡),那么B树

的搜索性能逼近二分查找;但它比连续内存空间的二分查找的优点是,改变BST树结构

(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;

       如:

      



   但BST树在经过多次插入与删除后,有可能导致不同的结构:



   右边也是一个BST树,但它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的

树结构索引;所以,使用BST树还要考虑尽可能让BST树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就

是所谓的“平衡”问题;      

       
AVL平衡二叉搜索树

定义:平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:

  (1)左右子树深度之差的绝对值不超过1;

  (2)左右子树仍然为平衡二叉树.

平衡因子BF=左子树深度-右子树深度.

平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1,0,-1。若其绝对值超过1,则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图:



 

RBT 红黑树

AVL是严格平衡树,因此在增加或者删除节点的时候,根据不同情况,旋转的次数比红黑树要多;

红黑是弱平衡的,用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低;

所以简单说,搜索的次数远远大于插入和删除,那么选择AVL树,如果搜索,插入删除次数几乎差不多,应该选择RB树。

红黑树上每个结点内含五个域,color,key,left,right,p。如果相应的指针域没有,则设为NIL。

一般的,红黑树,满足以下性质,即只有满足以下全部性质的树,我们才称之为红黑树:

1)每个结点要么是红的,要么是黑的。

2)根结点是黑的。

3)每个叶结点,即空结点(NIL)是黑的。

4)如果一个结点是红的,那么它的俩个儿子都是黑的。

5)对每个结点,从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

下图所示,即是一颗红黑树:



 

B-树

       是一种平衡多路搜索树(并不是二叉的):

       1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2;

       2.根结点的儿子数为[2, M];

       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];

       4.每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)

       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;

       6.非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];

       7.非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的

子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1],
K[i])的子树;

       8.所有叶子结点位于同一层;

       如:(M=3



       B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果

命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为

空,或已经是叶子结点;

B-树的特性:

       1.关键字集合分布在整颗树中;

       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;

       3.搜索有可能在非叶子结点结束;

       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

       5.自动层次控制;

       由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有M/2个儿子,确保了结点的至少

利用率,其最底搜索性能为:



    

       其中,M为设定的非叶子结点最多子树个数,N为关键字总数;

       所以B-树的性能总是等价于二分查找(与M值无关),也就没有B树平衡的问题;

       由于M/2的限制,在插入结点时,如果结点已满,需要将结点分裂为两个各占

M/2的结点;删除结点时,需将两个不足M/2的兄弟结点合并;

 

 

B+树

       B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树:

       1.其定义基本与B-树同,除了:

       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;

       3.非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树

(B-树是开区间);

       5.为所有叶子结点增加一个链指针;

       6.所有关键字都在叶子结点出现;

       如:(M=3)



   B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在

非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

       B+的特性:

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好

是有序的;

       2.不可能在非叶子结点命中;

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储

(关键字)数据的数据层;

       4.更适合文件索引系统;比如对已经建立索引的数据库记录,查找10<=id<=20,那么只要通过根节点搜索到id=10的叶节点,之后只要根据叶节点的链表找到第一个大于20的就行了,比B-树在查找10到20内的每一个时每次都从根节点出发查找提高了不少效率。

  

B*树

       是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;



   B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3

(代替B+树的1/2);

       B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据

复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父

结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

       B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分

数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字

(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之

间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

       所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

  

小结

       B树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于

走右结点;

       B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键

字范围的子结点;

       所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

       B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点

中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

       B*树:在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率

从1/2提高到2/3;

B+/B*Tree应用

数据库索引--索引文件和数据文件是分离的,索引文件仅保存数据记录的地址。

数据库索引--表数据文件本身就是按B+Tree组织的一个索引结构,这棵树的叶节点data域保存了完整的数据记录。这个索引的key是数据表的主键。

倒排索引--也可以由B树及其变种实现但不一定非要B树及其变种实现,如lucene没有使用B树结构,因此lucene可以用二分搜索算法快速定位关键词。实现时,lucene将下面三列分别作为词典文件(Term
Dictionary)、频率文件(frequencies)、位置文件 (positions)保存。其中词典文件不仅保存有每个关键词,还保留了指向频率文件和位置文件的指针,通过指针可以找到该关键字的频率信息和位置信息。   

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关键词            文章号[出现频率]              出现位置     

guangzhou           1[2]                      3,6     

he                  2[1]                      1     

i                   1[1]                      4     

live                1[2]                      2,5,   

                    2[1]                      2     

shanghai            2[1]                      3     

tom                 1[1]                      1  

参考文章

B-树和B+树的应用:数据搜索和数据库索引 http://blog.csdn.net/hguisu/article/details/7786014


B树、B-树、B+树、B*树 http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html

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