【GDOI2014模拟】网格

Description

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为A(0, 0)，右上角坐标为B(n, m)，其中n >= m。现在从A(0, 0)点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点(x, y)都要满足x >= y，请问在这些前提下，到达B(n, m)有多少种走法。



nput

输入文件中仅有一行，包含两个整数n和m，表示城市街区的规模。

Output

输出文件中仅有一个整数和一个换行/回车符，表示不同的方案总数。

Sample Input

输入1：

6 6

输入2：

5 3

Sample Output

输出1：

132

输出2：

28

Data Constraint

50%的数据中，n = m，在另外的50%数据中，有30%的数据：1 <= m < n <= 100

100%的数据中，1 <= m <= n <= 5 000

Analysis

这道题类似我以前做的题 ~~可惜的是我忘了~~QAQ

好吧，其实这道题就是说在不超过x<=y这条直线上的，只能向上向右走，从（1,1），走到（n,m)的方案是多少?

其实这道题可以看成一个杨辉三角（不要问我为什么，暴力一下便知道，自己脑补。。。）所以我们可以考虑组合数。

那么我们可以沿题目给的那条线，将终点对称过去，找到一个对称点

我们可以发现从起点到对称点的路径再对称回来的路径是一条不合法的路径，

所以Ans=无限制乱走方案数-起点走到对称点的方案数。

其实就是所有的方案数-不合法的方案数即为合法方案数。

所以这里有公式给参考Cmn+m−Cm−1n+m

化简可变成

(n+1−m)(m+n)!m!(n+1)!

由于答案可能过大，且题目没有要求取模，所以要上高精度

这里介绍一个快速的方法（个人认为是挺快的，起码比普通高精度快，比压位好打）

考虑到化简后是个除法，所以可以求出分子的约数，与分母的约数，

千万不要先乘，这样会炸。我们可以把它变成因子连乘的形式，

如3！=1*2*3,这样分子求出约数后，在求出分母约数，最后约分（具体怎么做可以看下面我的程序，或自己脑补），因为答案保证它一定是整数，就可以保证正确率了。

最后只要做一遍剩下因子的高精乘就好了。

不用打除法是否棒棒的 o((>ω< ))o

CODE

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for (int i=a;i>=b;i--)
#define N 100005
using namespace std;
int a
,b
,l=1;
int n,m;
void Fact(int k)
{
int x=0;
fo(i,1,l)
{
b[i]=b[i]*k+x;
x=b[i]/10;
b[i]%=10;
}
while (x>0)
{
b[++l]=x%10;
x/=10;
}
}
void ys(int x,int k)
{
fo(i,2,x)
while (x%i==0)
{
a[i]+=k;
x/=i;
if (x<=1) return;
}
}

int main()
{
/*((n+1-m)(n+m)!) / (m!(n+1)!)
*/
scanf("%d%d",&n,&m);
int k=1;
ys((n+1-m),k);
fo(i,1,m+n) ys(i,k);
k=-1;
fo(i,1,n+1) ys(i,k);
fo(i,1,m) ys(i,k);
b[1]=1;
fo(i,2,n+m)
if (a[i]!=0)
fo(k,1,a[i]) Fact(i);
fd(i,l,1) printf("%d",b[i]);
return 0;
}