练习3——动态规划总结

    动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解 题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。

 

    动态规划问题运算量比较大，通常提前列出问题的所有可能并保存到表中，在根据键值查表，这种方法的特点是牺牲空间来换取时间，举个简单的例子，斐波拉契数列，求f(10)，需要11次运算，求f(11)，需要12次运算，如果用公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)分开求，需要计算11+12=23次，但如果将将f(10)保存，计算f(11)，只需在f(10)的基础上再运算一次，即11+1=12次。可见，这种做法非常节省时间。

 

    在本套专题中遇到的DP问题类型：类斐波那契数列问题，01背包（以1019，1017题为例），完全背包（以1022题为例），最长升序子序列问题，最大公共子序列（以1002题为例）问题。

 

    类斐波那契数列问题，指特征方程类似于 f(n) = f(n-1) + f(n-2),的问题，此类问题最直观的题就是斐波那契数列，稍微难一点的就是跳楼问题，和堆砖头问题，这两个题虽然看起来与斐波那契没什么关系，但是经过分析和转化之后，就可以转化为该类型。总的来说，类斐波那契数列问题是这套专题里最简单的问题，只要做会了几个典型，其他的就很简单了。

 

    01背包，一般描述为给定背包的容积，一些物品的价值和体积，求能放入背包中的物品的最大价值，一个比较通用的公式为f[i, j] = max( f[i-1, j-Wi] + Pi (j >=Wi), f[i-1, j] )，这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f
是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

 

    完全背包，这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件，也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……取[V/c]件等很多种。

 

    最大公共子序列，又称LCS，由于上课老师没有讲过，便自己学习了一下，这类问题一般描述为给定一定个字符串，求出个个串最长的公共子序列的长度，这种问题的解决思路很巧妙，用一个矩阵，行和列每个格子代表一个字符，分别表示出两个字符串，如图，引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i]
= Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]，即问题的解。



 

感想： 动态规划问题，相较于贪心和搜索来说，一个显著的特点就是代码量很少，一个贪心或者搜索问题，一般都会有五六十行代码，而一个DP问题的代码量，往往就十几行甚至更短，以至于真正的核心就那么一行递推公式。但这并不代表DP问题就简单，做DP问题需要很强的逻辑思维和思考能力（思路很重要，思路好的时候，一天可以AC 5道题，要是思路不好，一天可能一道题也做不出来），需要一颗具备把逻辑问题转化为特征方程能力的大脑，总之，做DP问题，是真正用“脑子”做题，不是像搜索一样，靠“模板”来嵌套。