算法导论之动态规划：最长公共子序列

公共子序列定义：

给定一个序列X=<x1,x2,x3……,xm>,另一个序列Z=<z1,z2,z3……,zk>满足如下条件时称为X的子序列。

即存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,……ik>，对所有的j=1,2,……,k，满足xi=zj。

动态规划算法的4个步骤：

1.刻画一个最优解的结构特征。

2.递归地定义最优解的值。

3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。

4.利用计算出的信息构造一个最优解。

第一步、我们刻画出最长公共子序列的特征：

令X=<x1,x2……,xm>和Y=<y1,y2……,yn>为两个序列，Z=<z1,z2……，zk>为X和Y的任意LCS。

1.如果x[m]=y
，则z[k]=x[m]=y
，且Z[k-1]是X[m-1]和Y[n-1]的一个LCS。

2.如果x[m]!=y
，则z[k]!=x[m]，且意味着Z是X[m-1]和Y的一个LCS。

2.如果x[m]!=y
，则z[k]!=y
，且意味着Z是X和Y的[n-1]一个LCS。

第二步、一个地归解：

c[i,j]=0                                          若i=0或j=0

c[i,j]=c[i-1][j-1]+1                        若i,j>0且x[i]=y[j]

c[i,j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j])         若i,j>0且x[i]!=y[j]

第三步、计算LCS的长度

时间复杂度为O(mn)。

第四步、构造LCS。

时间复杂度为O(m+n)。

代码实现如下：

#include <stdio.h>
#include<String.h>

int LCS_LENGTH(char *Xstring,char *Ystring,int Xlen,int Ylen,int c[][Ylen+1],char b[][Ylen+1]){
int i=1;
for(;i<Xlen+1;i++){
c[i][0]=0;
}
int j=0;
for(;j<Ylen+1;j++){
c[0][j]=0;
}
for(i=1;i<Xlen+1;i++){
for(j=1;j<Ylen+1;j++){
if(Xstring[i-1]==Ystring[j-1]){
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]='=';
}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]='|';
}else{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]='-';
}
}
}
return c[Xlen][Ylen];
}
void PRINT_LCS(int Ylen,char b[][Ylen+1],char *Xstring,int i,int j){
if(i==0 || j==0){
return;
}
if(b[i][j]=='='){
PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,i-1,j-1);
printf("%c",Xstring[i-1]);
}else if(b[i][j]=='|'){
PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,i-1,j);
}else if(b[i][j]=='-'){
PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,i,j-1);
}
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char Xstring[] = "ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA";
char Ystring[] = "GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA";
int Xlen=strlen(Xstring);
int Ylen = strlen(Ystring);
int c[Xlen+1][Ylen+1];
char b[Xlen+1][Ylen+1];
int len = LCS_LENGTH(Xstring,Ystring,Xlen,Ylen,c,b);
printf("the common String's length is:%d\nXstring len is:%d\nYstrring len is:%d\n\n",len,Xlen,Ylen);
char rs[len];
int flag=len;
int i=Xlen,j=Ylen;
int count=0;
while(i>0&&j>0){
printf("this is b[%d][%d],\tcount is %d,\tXstring[%d] is %c,\tYstring[%d] is%c\n",i,j,++count,i-1,Xstring[i-1],j-1,Ystring[j-1]);
if(b[i][j]=='='){
rs[--flag]=Xstring[--i];
printf("%d,%d,%c\n",i+1,j,rs[flag]);
j--;
}else if(b[i][j]=='|'){
printf("%c\n",'|');
i--;
}else if(b[i][j]=='-'){
printf("%c\n",'-');
j--;
}
}
int w= 0;
for(;w<len;w++){
printf("%c",rs[w]);
}
printf("\n");
PRINT_LCS(Ylen,b,Xstring,Xlen,Ylen);
return 0;
}

上面第四步的构造LCS，使用了两种方式，任选其一即可。

参考资料：

算法导论

备注：

转载请注明出处：http://blog.csdn.net/wsyw126/article/details/51419556

作者：WSYW126

最长公共连续子串

package cc.wsyw126.java.nowcoder;

import java.util.Scanner;

/**
* Created by Administrator on 2017/4/12.
*/
public class LCSContinuous {
public int LCS_LENGTH(String a, String b) throws Exception {
int result = 0;
if (a == null || b == null) {
throw new Exception("null Exception!");
}
if (a.length() == 0 | b.length() == 0) {
return result;
}
int raw = a.length(), column = b.length();
int[][] mark = new int[raw+1][column+1];
for (int i = 0; i <= raw; i++) {
mark[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i <= column; i++) {
mark[0][i] = 0;
}
for (int i = 0; i < raw; i++) {
for (int j = 0; j < column; j++) {
if (a.charAt(i) == b.charAt(j)) {
if (i-1<0 || j-1 <0 || a.charAt(i-1) == b.charAt(j-1)) {
mark[i+1][j+1] = mark[i][j]+1;
} else {
mark[i+1][j+1] = 1;
}
}else {
if (mark[i][j+1] >= mark[i+1][j]) {
mark[i+1][j+1] = mark[i][j+1];
}else {
mark[i+1][j+1] = mark[i+1][j];
}
}
}
}
result = mark[raw][column];
return result;
}

public static void main(String[] args) throws Exception {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
while (scanner.hasNext()) {
String a = scanner.nextLine();
String b = scanner.nextLine();
LCSContinuous lcs = new LCSContinuous();
int i = lcs.LCS_LENGTH(a, b);
System.out.println("i = " + i);

}
}
}