常用数论定理

1.素数定理:素数个数nln(n)

2.定理:设a > 1, m,n > 0,那么有gcd(am−1,an−1)=agcd(m,n)−1

3.定理:设a > b, gcd(a,b) = 1, 那么gcd(am−bm,an−bn)=agcd(m,n)−bgcd(m,n)

4.定理:设G(n)=gcd(C(n,1),C(n,2),....C(n,n−1)),那么

(1)n为素数,那么G(n)是n

(2)n为多个素因子,那么G(n)是1

(3)n只有一个素因子,那么G(n)是该素因子

5.定理:设Fn为Fib数,那么有gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)

6.定理:给定两个互素的正整数A和B,那么它们最大不能组合的数为A*B-A-B,不能组合的数的个数为

num = (A - 1)*(B - 1) / 2

7.定理:∑i=1gcd(i,N)=∑d|Nphi[N/d]

8.定理:(n+1)∗lcm(C(n,0),C(n,1),...,C(n,n−1),C(n,n))=lcm(1,2,3,...,n+1)

9.定理:任何n个连续的正整数的乘积均可被n!整除

两个推广结论:

(1)如果p是素数,那么C(p,1),C(p,2)...C(p,p−1)均可被p整除

(2)如果p是素数,那么有(x+y...+w)=(xp+yp+...wp)(modp)