斐波那契数列

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

这个题可以说是迭代（Iteration） VS 递归（Recursion），

f(n) = f(n-1) + f(n-2)，第一眼看就是递归啊，简直完美的递归环境，递归肯定很爽，这样想着关键代码两三行就搞定了，注意这题的n是从0开始的：

if(n<=1) return n;
else return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

然而并没有什么用，测试用例里肯定准备着一个超大的n来让Stack Overflow，为什么会溢出？因为重复计算，而且重复的情况还很严重，举个小点的例子，n=4，看看程序怎么跑的：

Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2);
= Fibonacci(2) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);
= Fibonacci(1) + Fibonacci(0) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);

由于我们的代码并没有记录Fibonacci(1)和Fibonacci(0)的结果，对于程序来说它每次递归都是未知的，因此光是n=4时f(1)就重复计算了3次之多。

那么如何求解呢，动态规划似乎不错，关于动态规划三个条件：最优子结构、无后效性、子问题重叠这些就不谈了，因为理(wo)论(ye)性(bu)太(tai)强(dong)了。

下例是一个简单的动态规划，以一定的空间代价避免代价更大的重复计算的栈空间浪费：

class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {

if(n<=0)
return 0;
if(n==1||n==2)
return 1;
vector<int> Fib;
Fib.push_back(0);
Fib.push_back(1);

Fib[2]=Fib[0]+Fib[1];

for(int i=2;i<=n;i++)
{
Fib.push_back(Fib[i]);
Fib[i+1]=Fib[i]+Fib[i-1];

}
return Fib
;

}
};

虽然看起来很蠢，空间浪费了sizeof(int)*(n-1)，但是对于那个超大n的测试用例应该是可以通过了，时间复杂度也达到了O(n)。

那能不能把“优雅”的递归和动态规划结合起来呢？递归的优点在于便于理解和编码，而重复计算的关键原因在于代码里直接就“递”进去然后等着“归”了，所以避免重复的关键在于对子问题是否已经得出解的判断，即：

public static int[] record = null;
public int Fibonacci(int n){
if(n<=1){
return n;
}
if(null == record){
record = new int[n+1];
}
if(0!=record[n-2] && 0!=record[n-1]){
record
= record[n-2] + record[n-1];
} else {
return Fibonacci(n-2) + Fibonacci(n-1);
}
}

P.S. 最后一种方法，提交时死活过不了输入5，输出5这个测试用例，我在本地都跑过了。