[BZOJ2705][SDOI2012]Longge的问题

[SDOI2012]Longge的问题

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0 < N<=2^16。

对于100%的数据，0 < N<=2^32。

Solution

∑i=1ngcd(i,n)\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)

=∑d|nd∑i=1n[gcd(i,n)==d]=\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d]

=∑d|nd∑i=1nd[gcd(i,nd)==1]=\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})==1]

=∑d|nd∗ϕ(nd)=\sum_{d|n}d*\phi(\frac{n}{d})

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x){
x=0;T f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
x*=f;
}

const int MaxN=100000;
ll n,tot,d[MaxN],ans=0;

inline ll phi(ll n){
ll res=n;
for(ll i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){res/=i;res*=(i-1);}
while(n%i==0) n/=i;
}
if (n!=1) res/=n,res*=(n-1);
return res;
}
int main(){
read(n);
for(ll i=1;i*i<=n;i++){
if(n%i==0) d[++tot]=i,d[++tot]=n/i;
if(i*i==n) tot--;
}
for(int i=1;i<=tot;i++) ans+=d[i]*phi(n/d[i]);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}