组合数学之容斥原理

在组合数学中，容斥是常常被用到的，我们总用容斥求解一些带有条件的组合数。

容斥原理：具有性质A和性质B的元素个数等同于具有性质A的个数和具有性质B的个数的和再减去同时具有性质A和性质B的元素的个数。

数学公式表示为 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。

图形表示为


其中黄色区域就是我们所求。

同样以此类推对于三个性质来说其数学公式为|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

为什么要加上最后那个呢？因为在减的过程中多减了一个。

对于容斥原理来说比较常用的方法为递归法和二进制枚举法，二进制枚举的方法最大的好处是枚举出所有元素的子集。假设一个集合的元素有m个，则对于m长的二进制数来说就有m个1或0的位置，对于每一个1

-就对应一个元素，整个二进制枚举完就是所有子集，从0到2^m就行。

递归法则是利用dfs的思想进行搜索，检索每一种方案进行容斥。由于每一种题都有不同的搜索方法，没用统一的模板，就不弄代码了。

在这其中都是奇数个性质加偶数个性质减，而如果所求的性质是相反的性质，则用总数减去。

容斥原理开着简单，实际非常复杂，每一道题都用不同的性质容斥，但最终的思想是不变的，多做一些题就会慢慢积累经验最终由一个好的思想。