ccf 有趣的数(数位dp)
2016-04-04 19:41
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问题描述
我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3
思路:
这题是典型的数位dp,不过还是没做出来。。。看了题解,发现人家是把6种状态,即
1、只含2
2、只含2、0
3、只含2、3
4、只含2、0、1
5、只含2、0、3
6、含4种数字。
这6种状态记录下来。dp[i][j]表示i位的,符合条件j的,合法的数的个数。
位数为i且只含2、0的整数可以由位数为i-1的只含2、0的整数通过在末尾添加0或者2得到,也可以由位数为i-1的只含2的整数在末尾添加0得到。
其余的状态转移方程以此类推。
要强调一点,2肯定是在首位的,因为2必须在3的前面,而0必须在1的前面,而且0不能在首位,那么显而易见的首位只能是2.
代码:
我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3
思路:
这题是典型的数位dp,不过还是没做出来。。。看了题解,发现人家是把6种状态,即
1、只含2
2、只含2、0
3、只含2、3
4、只含2、0、1
5、只含2、0、3
6、含4种数字。
这6种状态记录下来。dp[i][j]表示i位的,符合条件j的,合法的数的个数。
位数为i且只含2、0的整数可以由位数为i-1的只含2、0的整数通过在末尾添加0或者2得到,也可以由位数为i-1的只含2的整数在末尾添加0得到。
其余的状态转移方程以此类推。
要强调一点,2肯定是在首位的,因为2必须在3的前面,而0必须在1的前面,而且0不能在首位,那么显而易见的首位只能是2.
代码:
#include <cstdio> #include <cstring> #define LL long long LL dp[1000 + 10][10]; const LL Mod = 1000000007; int main() { int n; scanf("%d", &n); memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(int i = 1; i <= n; i++) { dp[i][0] = 1; // 2 dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] * 2) % Mod; // 0 2 (状态0第i位只能为2,状态1第i位可以为0或2,所以要乘2,后面以此类推) dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % Mod; // 2 3 dp[i][3] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] * 2) % Mod; // 0 2 3 dp[i][4] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][4] * 2) % Mod; // 0 1 2 dp[i][5] = (dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5] * 2) % Mod; // 0 1 2 3 } printf("%I64d\n", dp [5]); return 0; }
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