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高等数学：第八章多元函数微分法及其应用（1）多元函数微分法及其应用偏导数全微分

2016-03-02 12:47 281 查看

§8.1 多元函数的基本概念

本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用。讨论中，我们主要以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生许多新问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。

建议同学们在学习中，注意将二元函数的概念与结论与一元函数的相应的概念与结论加以比较，区别并理解二者之间的“同中之异，异中之同”，这样会大大地提高学习效率。

一、区域

1、邻域

设

是

平面上的一点，

是某一正数，与点

距离小于

的点

的全体，称为点

的

邻域，记为

。

即

或

几何上，

是

面上以点

为中心，

为半径的圆内部的点

的全体。

以后，若不需要强调邻域的半径

时，可用

表示点

的邻域。

2、区域

设

是平面上的一个点集，

是平面上的一点，若存在点

的某一邻域

，使

，则称

为

的内点。

如果点集

的点都是内点，则称

为开集。

例如，点集

便是一个开集。

如果点

的任一邻域内既有属于

的点，又有不属于

的点（点

本身可以属于

，也可以不属于

），则称

为

的 边界点。

的边界点的全体称为

的边界。

例如，点集

的边界是圆周

和

。

设

是开集，若对于

内任何两点，都可以用完全属于

的折线连结起来，则称开集

是连通的。

连通的开集称之为区域或开区域。

例如，点集

与

均是区域。

开区域连同它的边界一起，则称之为闭区域。

例如，

与

均是闭区域。

对于点集

，若存在正数

，使一切点

与某一定点

间的距离不超过

，即

，
则称

为有界点集；否则称

为无界点集。

例如，

是有界开区域，而

是无界开区域。

【例】说明点集

的特征。

是开集，但非连通，且是无界的点集。

3、聚点

设

是平面上的一个点集，

是平面上的一个点，若点

的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集

，则称

为

的聚点。

显然，

的内点一定是

的聚点；

的边界点可能是

的聚点，也可能不是的；

的聚点可能是

中的一点，也可能不是

中的点。

例如，

，但

是

的聚点;

而直线

上的任意点既是

的边界点，也是

的聚点。

4、n维空间

数轴上的点与实数具有一一对应的关系，从而全体实数表示数轴上一切点所构成的集合，即直线。

在平面引入直角坐标系之后，平面上的点与二元数组

形成了一一对应，从而，二元数组

的全体表示平面一切点的集合，即平面。

在空间引入直角坐标系之后，空间的点与三元数组

形成了一一对应，从而，三元数组

的全体表示空间一切点的集合，即空间。

一般地，

设

为取定的一个自然数，称

元数组

的全体为

维空间，而每个

元数组

称为

维空间中的一个点，数

称为该点的第

个坐标，

维空间记为

。

维空间

中的两点

与

之间的距离规定为

很明显，当

时，上式便是解析几何中关于直线,平面,空间内两点间的距离。

前面究平面点集所陈述的一系列概念，均可类似地推广到

维空间。

例如：设

，

是某一正数，则

内的点集

称为点

的

邻域。

以点的邻域概念为基础，便可完全类似地定义内点、边界点、区域、聚点等等一系列概念，这里不再赘述。

二、多元函数概念

实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系。

【例1】圆柱体的体积

和它的底半径

、高

之间具有关系

这里，当

在集合

内取定一对值时，

的对应值就随之确定了。

【例2】设

是电阻

与

并联之后的总电阻，则它们之间具有关系

这里，当

在集合

内取定一对值时，

的对应值也就随之确定了。

抽出这些具体例子所蕴藏的内涵，我们可给出二元函数的定义。

【定义】

设

是平面上的一个点集，如果对于每个点

，变量

按照一定法则总有确定的值与之对应，则称

是变量

的二元函数（或点

的函数），并记为

（或

)

点集

称为该函数的定义域，

称为自变量，

称为因变量，而数集

称为该函数的值域。

【注记一】

是

的函数有时也记为这样的形式

请注意，这种记号中的两个

的含义是不同的，左边的

是因变量，右边的

是对应法则。尽管我们的记号发生了混写，但对它们的涵义要“胸中有数”。

【注记二】一般地，把定义中的平面点集

换成

维空间内的点集

，可类似地定义

元函数

，

元函数也可简记为

，这里，点

，当

时，

元函数也就是一元函数，当

时，

元函数统称为多元函数。

【注记三】多元函数的定义域约定

在讨论多元函数

时，以这个算式有确定值

的自变量取值点集为该函数的定义域。

例如，函数

的定义域应认为是

而函数

的定义域为

【注记四】函数

的几何意义

设函数

的定义域为，对于任取点

，其对应的函数值为

，于是得到了空间内的一点

。当

遍取定义域

内一切点时，得到了空间点集

这个点集称之为二元函数

的图形，通常我们称二元函数的图形是一张空间曲面。

【注记五】介绍计算机作图

1、对区域

用直线

作剖分，得到

面上的格点

。这些格点有一部分在区域

内，有一部分在区域

之外。

2、计算函数在这些格点处的值

,对区域之外的格点，函数无定义，计算机会自动进行判断，在作图时自动处理。

3、在空间直角坐标系中画出这些点

，并用网状线将这些点联结起来，张成一块曲面。

三、多元函数的极限

先讨论二元函数

当

时的极限。

【描述性的定义】

设函数

的定义域为

，点

是

的聚点，对于任意点

，当点

以任何方式趋近于点

时，对应的函数值

无限地趋近于一个确定的常数

，则称常数

为函数

在

时的极限，记作

或

对于这一定义，我们给出如下几点重要注解。

【注一】

是区域

的聚点，则它可能属于

，也可能不属于

，但在任意

的邻域内总有

内的无限多个点，因此，

取点

总是可行的。

例如，对于极限

，这里，

是函数的定义域

的聚点。

【注二】，

表示点

以任何方式趋近于点

，在

内，点

趋近于点

是沿“四面八方”的各种各样路径来逼近的，而在一元函数的极限

中，

的方式仅有沿数轴这一种路径，因此，二元函数的极限与一元函数的极限相比较，它是一种“全面极限”，比一元函数极限复杂得多。通常我们称它为二重极限。

【例1】求二重极限

。

解：

【注三】二重极限是一种全面极限，当

以某几条特殊路径趋近于

时，即使函数

无限地趋近于某一确定常数

，并不能断定函数的极限

存在。

反过来,如果当

沿两条不同路径趋近于点

时,函数

趋近于不同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在。

【例2】试证明函数

在原点的二重极限不存在。

证明：若点

沿路径

趋向于原点

时，有

若点

沿路径

趋向于原点

时，有

这表明，当点

仅以两种特殊的路径趋近于原点

时，函数的极限值不相等。据二重极限的定义可知，

不存在。

判定函数的二重极限不存在的常用方法

设法选择

面上过点

的两条曲线

与

，使极限

与

的值不相等。

【例3】求

解：

而当

时，

由两边夹法则，有

故

函数的二重极限的概念不难推广到更多元函数的极限，这里从略。

四、多元函数的连续性

利用多元函数极限的概念，可定义多元函数的连续性。

【定义】设

元函数

的定义域为

，

是

的聚点，且

，

若

，

则称

元函数

在点

连续。

设

是开区域或闭区域，若函数

在

上各点处都连续，则称函数

在

上连续，或称

是

上的连续函数。

设

是函数

定义域内的聚点，如果

在点

处不连续，则称它为函数

的间断点。

【例4】设函数

试证明：原点

是其间断点。

证明：二重极限

是不存在的，事实上

如图所示，取过原点

的路径

(

为任意实数
），有

此极限值与参数

的取值有关，随着

的不同而不同，因此二重极限

不存在，点

是函数的间断点。

与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界的闭区域上，多元连续函数也有如下性质。

【最大值与最小值定理】

在有界闭区域

上的多元连续函数，在

上至少取得它的最大值和最小值各一次。

【介值定理】

在有界闭区域

上的多元连续函数，若在

上取得两个不同的函数值，则它在

上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

特别地，有界闭区域上的多元连续函数可取得它的最小值与最大值之间的任何一个值。

可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数。据极限运算法则，进一步可证明，多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数。

多元初等函数是指这样的函数：

它是由一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由常数及含多个自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成。

例如，下述函数均为多元初等函数

，

据多元连续函数和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再考虑到基本初等函数的连续性，我们得出如下结论

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。

【注】这里的定义区域是指含在定义域内的任一区域。

因此，对于多元初等函数，如果要求它在一点

处的极限值，而

又在此函数的定义区域内，则其极限值就等于函数在该点的函数值，亦即

【例】求二重极限

而

却是区域，且

，所以

是函数的一个定义区域，且点

，故

【注】若不引进区域

，也可用下述方法来判定函数

在点

处的连续性。

因点

是函数定义域

的内点，故存在

的某一邻域

，而任何邻域都是区域，所以

便是函数的一个定义区域，又因

是初等函数，因此，

在点

处连续。

据上述注记，我们有处理这类情况的一般方法：

求

时，如果

是初等函数，且

是

定义域的内点，则

在点

处连续，于是

【例5】求二重极限

解：

【正】原极限中

是沿除去

轴、

轴之外的任何路径趋近于原点，而使用变量替换

之后，

的路径改变成了

，这与二重极限定义不符。

另一方面，

与

并不等价。

§8.2 偏导数

一、偏导数定义、计算法及几何意义

1、定义

由于多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。本节，我们以二元函数

为例，考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率的问题。

若只有自变量

变化，而自变量

固定(即看作常量)，这时，

就成了一元函数，这个函数对于

的导数，就称之为二元函数

对于

的偏导数。

【定义】设函数

在点

的某一邻域内有定义，当

固定在

，而

在

处有增量

时，相应地函数有增量

如果极限

存在，则称此极限为函数

在点

处对

的偏导数，并记作

即

(1)

类似地，函数

在点

处对

的偏导数定义为

如果函数

在区域

内每一点

处对

的偏导数都存在，那未这个偏导数就是

的函数，称它为函数

对自变量

的偏导函数，记作

。

类似地，可以定义函数

对自变量

的偏导函数，并记作

由偏导函数概念可知，

在点

处对

的偏导数

，其实就是偏导函数

在点

处的函数值；

就是偏导函数

在点

处的函数值。

在不产生混淆的情况下，我们以后把偏导函数也简称为偏导数。

2、计算法

求

的偏导数，并不需要新的方法，因为这里只有一个自变量在变化，另一自变量被看成是固定的，所以仍然是一元函数的导数。

求

时，把

看作常量，而对

求导数；

求

时，把

看作常量，而对

求导数。

显然，偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形。

例如，三元函数

在点

处对

的偏导数是如下极限

【例1】求

在点

处的偏导数。

【解法一】

则

【解法二】

，

则

注：求多元函数在某点处的偏导数时，解法二有时会方便一些。

【例2】设

(

为任意实数 )

求证：

证明：

【例3】已知理想气体的状态方程为

(

为常量 )，

求证：

证明：

故

注:偏导数的记号应看作一个整体性的符号(不能看成商的形式)，这与一元函数导数

可看作函数微分

与自变量微分

之商是有区别的。

3、几何意义

同样，偏导数

表示曲面

被平面

所截得的曲线

在点

处的切线对

轴的斜率。

4、二元函数的偏导数与连续性之间的关系

一元函数在某点可导，则函数在该点一定连续；若函数在某点不连续，则函数在该点一定不可导。对于二元函数来说，情况就不同了。

二元函数

在点

处的偏导数

、

，仅仅是函数沿两个特殊方向( 平行于

轴、

轴 )的变化率；而函数在

点连续，则要求点

沿任何方式趋近于点

时，函数值

趋近于

，它反映的是函数

在

点处的一种“全面”的性态。

因此，二元函数在某点偏导数与函数在该点的连续性之间没有联系。

【反例一】讨论函数

在点

处的偏导数与连续性。

解：

函数沿过原点的直线

趋近于原点时，其极限值与参数

有关，故二重极限不存在，函数在原点自然是不连续的。

函数关于自变量

是对称的，故

此例表明，二元函数在一点不连续，但其偏导数却存在。

【反例二】讨论函数

在点

处的偏导数与连续性。

解：显然，

,函数在原点连续。

不存在，

据对称性，

也不存在。

此例表明，二元函数在一点连续，但在该点的偏导数不存在。

在几何上，曲面

可看成是折线

绕

轴旋转而成的锥面，点

是曲面的尖点。

二、高阶偏导数

设函数

在区域

内具有偏导数

于是，在

内

、

均是

的函数，若这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。

按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数

其中：称

、

为二阶混合偏导数，类似地，可得到三阶、四阶和更高阶的导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

对于二阶偏导数的符号，有必要引入如下简洁记法：

，

在不特别需要写出函数自变量时，二阶偏导数的符号还可简单的记成

【例4】求函数

的二阶偏导数。

解：

此例中的两个二阶混合偏导数相等，即

，这并不是某种偶然的巧合，其实，我们有如下定理。

【定理】如果函数

的两个二阶混合偏导数

及

在区域内连续，那未在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

这一结论表明，有二阶混合偏导数连续的条件下，它与求导次序无关。

对于二元以上的函数，我们可类似地定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

必须指出，定理中所要求的条件连续是必要的，改变这一条件，定理的结论不真。

【例5】证明函数