概率统计：第二章 随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布
内容提要：

一、        随机变量的定义

设

是一个随机试验，其样本空间为

，若对每一个样本点

，都有唯一确定的实数

与之对应，则称

上的实值函数

是一个随机变量（简记为

）。

二、        分布函数的概念和性质

1．分布函数的定义

设

是随机变量，称定义在

上的实值函数


为随机变量

的分布函数。

2．分布函数的性质

(1) 

，

（2）单调不减性：

，

（3）




（4）右连续性：

。

注：上述4个性质是函数

是某一随机变量

的分布函数的充要条件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如

，其性质也会有所不同。

 （5）


     


      


 注：该性质是分布函数

对随机变量

的统计规律的描述。

三、        离散型随机变量

  1．离散型随机变量的定义

 若随机变量

的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量

是离散型随机变量。

 2．离散型随机变量的分布律

（1）定义：离散型随机变量

的全部可能的取值

以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量

的分布律，表示为

 


或用表格表示：

 

	x1      x2      …    xn    …
pk	P1    p2    …    pn    …

或记为

       

~ 


  

（2）性质：

， 

    注：该性质是

是某一离散型随机变量

的分布律的充要条件。

      

其中

。

注：常用分布律描述离散型随机变量

的统计规律。

  3．离散型随机变量的分布函数

   

=





， 它是右连续的阶梯状函数。

4．常见的离散型分布

     （1） 两点分布（0—1分布）：其分布律为

        


即

     

	0         1
p	1–p       p

 

  （2）二项分布

  （ⅰ）二项分布的来源—

重伯努利试验：设

是一个随机试验，只有两个可能的结果

及

，

，将

独立重复地进行

次，则称这一串重复的独立试验为

重伯努利试验。

  （ⅱ）二项分布的定义

     设

表示在

重伯努利试验中事件

发生的次数，则随机变量

的分布律为

   

，  

，

称随机变量

服从参数为

的二项分布，记作

。

注：

即为两点分布。

（3）泊松分布：若随机变量

的分布律为

   

，  

   

，

则称随机变量

服从参数为

的泊松分布，记作

（或

。

四、        连续性随机变量

   1．连续性随机变量的定义

   若对于随机变量

，存在定义在

上的非负函数

，使得对任意的实数

，总有

 则称于随机变量

是连续性随机变量，其中

称为

的概率密度函数，简称概率密度，为明确起见，有时写为

。

2．概率密度函数的性质

  （1）


注：该性质是

是某一连续型随机变量

的概率密度的充要条件。

   （2）对连续性随机变量，

一定是连续的，但是

未必连续，在

的连续点处，有

，

  （3）对任意的实数

 

从而对任意实数

，有

 



。

   注：常用概率密度描述连续型随机变量

的统计规律。

4．常见的连续型分布

   （1）均匀分布

   设

表示几何概型中的落点坐标，则其分布函数为




，

其概率密度为


，

称

服从区间

上的均匀分布，记为

。

   （2）指数分布

    若随机变量

的概率密度为

    

，


称

服从参数为

的指数分布，其分布函数是


     。

   （3）正态分布

   （ⅰ）标准正态分布：若随机变量

的概率密度为

        

，

，

则称

服从标准正态分布，记为

，其分布函数为


，


 （ⅱ）一般正态分布：若随机变量

的概率密度为

        

，

，


则称

服从参数为

的正态分布，记为

，其分布函数为


，


（ⅲ）正态分布的性质：

  

 

满足对称性，即

，

；

  

 若

，则

，即

，从而有

；

注：由上述性质，可将正态分布的计算转换为标准正态分布的计算，而对于标准正态分布的分布函数值，当

时有表可查，根据对称性，当

时，可根据

算出

的值。


 若

，则


（ⅳ）标准正态分布的上

分位点：设

，对于任给的

，

，称满足

的点

为标准正态分布的上

分位点。

五、        随机变量的函数分布

  1．离散型随机变量的函数分布

设

是离散型随机变量，其分布律为

，又


为连续函数），则

的分布律为

    情形一：对所有的

全不相同时，

的分布律为



情形二：若知某个

，

时，则有

     

，

一般的，

的分布律为

              

，


2．连续型随机变量的函数分布

设

是连续型随机变量，其概率密度为

，又

，则

的概率密度为

    情形一：如果函数

处处可导且



，则

也是连续型随机变量，其概率密度为



其中

=



是

的反函数。

情形二：如果函数

非严格单调，则可分两步求

的概率密度：

第一步，求

的分布函数

，

第二步，对

求导数。

六、        几个注记

1．若分布函数

中有待定的常数，则该常数的确定是利用

的性质：



或

。

   2．若概率密度函数

（分布律）中有待定的常数，则该常数的确定是利用

（分布律）的性质：

（

；

    3．若

是连续型随机变量，对任意的实数

 

；

    4．离散型随机变量

的分布律中两要素缺一不可，即

的所有可能的取值以及取每个值时的概率值，离散型随机变量

的分布函数是右连续、阶梯状的分段函数；

5．若

是连续型随机变量，根据

 

互求即可。

 
基本要求

1．熟练掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，理解分布函数、分布律和概率密度函数的性质；

2．会利用随机变量描述事件，会求随机变量的分布函数，分布律和概率密度函数，会求随机变量函数的分布；

3．熟练掌握六种常用的分布；

4．已知分布函数，会求分布律或概率密度函数，已知分布律或概率密度函数，会求分布函数。

重点内容

随机变量的概念，分布函数、分布律和概率密度函数的概念和性质，分布函数和概率密度函数的计算，随机变量函数的分布。

典型例题分析

例1 设一个盒子中有标号为1，2，3，4，5的5个球，从中等可能的任取3个，用

表示取出球的最大号码，求随机变量

的分布律及分布函数。

分析：本题中，

的所有可能的取值为3，4，5，而

取每个值（事件）时的概率是古典概型的概率，然后根据分布律及分布函数的关系求出分布函数。

解：

的所有可能的取值为3，4，5，

当

时，即取出号码为（1，2，3），

，

当

时，即取出号码为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），

，

当

时，即取出号码为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），

，

故分布律为

X	3      4      5
pk	1/10   3/10    3/5

 

由公式

可得分布函数为

     


例2 一批零件中有9个正品3个次品，从中任取一个，如果取出次品不再放回，求在取出正品前已取出的次品数

的分布律。

分析：本题中，

的所有可能的取值为0，1，2，3，而

取每个值（事件）时的概率是古典概型的概率。

解：

的所有可能的取值为0，1，2，3，设

表示第

次取出的是正品，则由乘法公式得

的分布律为


 



同理





例3 一个靶子是半径为两米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以

表示弹着点与圆心的距离，求

的分布函数。

   分析：根据分布函数的定义求。

  解：设

的分布函数为

，若

，则

是不可能事件，此时，

；

  若

 由题意，

，为确定常数

，取

，则有

，而

，所以

，从而


；

若

，则

是必然事件，于是

；

综上所述，

     


例4 设随机变量

的分布函数为


 

试确定常数

，并求

。

分析：根据前面的注记，应用

的右连续性可求出常数

，然后应用

的性质中对随机变量

的统计规律的描述求概率。

解：由分布函数的右连续性

得

，由概率与分布函数的关系得









注：从本例可以看出，分布函数

既非连续又非阶梯状，从而说明，存在既非离散又非连续的随机变量。

例5 设随机变量

的分布函数为

，

，求

（1）系数

，（2）

落在

内的概率，（3）

的概率密度。

分析：根据

的性质及

和概率密度函数之间的关系求解。

解：（1）由于



，可知


，解之得

，

于是，

。

（2）


=






 （3）

 ，


例6 设随机变量

的概率密度



，求

（1）系数

， （2）

   （3）求

的分布函数。

    分析：根据

的性质及分布函数和概率密度函数之间的关系求解。

解：（1）由于



，得

，即

，

（2）

，

（3）


  当

时，





，

           当

时，



+





，

所以

的分布函数

   。

例7 设电视机的寿命（以年记），具有以下的概率密度函数

    


求（1）电视机的寿命最多为6年的概率，

  （2）寿命最在5到10年之间的概率，

分析：本题是已知连续性随机变量的概率密度函数求概率，按前面的公式求即可。

解：电视机的寿命记为

，则有

      （1）


      （2）


例8 设公共汽车每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在任一时刻到达车站是等可能的，求

（1）乘客候车时间不超过3分钟的概率，

（2）乘客每周等车3次，每次若超过3分钟就离开，用

表示该乘客在一周内等到公共汽车的次数，求

的分布律，并求

。

分析：由题意知，乘客候车时间应服从均匀分布，求乘客候车时间不超过3分钟的概率，就是根据概率密度求概率；又由题意可知，

是服从二项分布的随机变量。

解：（1）设

表示候车时间，由题意可知

服从[0，5]上的均匀分布，概率密度为

  

，

故乘客候车时间不超过3分钟的概率为

；

    （2）由题意可得，

，从而

          

=

=



。

例9设随机变量

，求：

       （1）

  （2）


分析：对正态分布的概率计算，要先将其标准化，然后查表计算。

解：

方法一：因为

，所以

，从而

（1）


（2）




                  =


方法二：设

的分布函数为

，则

，于是

（1）


（2）



= 


例10 设随机变量

的分布律为

 

X	0      1      2
pi	0          0.2     0.2

求（1）

的值， （2）

及

的分布律。

分析：这是求离散型随机变量的函数分布，先根据分布律的性质求出


，然后再根据公式求函数分布即可。

解：（1）由于

，所以


              （2）

的分布律为

 

X2	0     1    4
pi	0.4   0.2  0.4

 

的分布律为

  

2X+1	1     3      5
pi	0.2      0     0.4   0.2    0.2

注：在本题中需要注意的是，


例1 1 设随机变量

均匀分布），求

（1）随机变量

的概率密度函数，

 (2)  随机变量

的概率密度函数。

分析：这是求连续型随机变量的函数分布，而且给定的函数

非严格单调的，应先求分布函数，然后对分布函数求导数。

解：由条件知随机变量

的概率密度为

，

（1）

的分布函数

，显然，当

时，

，当

，

 当

时，有





=

，

所以  


（2）

的分布函数

，显然，当

时，

，当

时，有





=

，

所以  

。

例12  如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与

成正比的泊松分布，已知在一分钟内没有汽车通过的概率为

，求在两分钟内多于一辆汽车通过的概率。

分析：从题意可以看出，须先求出参数

，然后再根据分布律求概率。

解：用随机变量

表示在时间

内通过某交叉路口的汽车数，则

  


当

时，

所以

，从而当

时，


。

     例13  某电池的寿命

的正态分布，求

，使得寿命在

之间的概率不小于

。

分析：将正态分布化为标准正态分布，然后查表计算。

解：

=



，即

，查表得，

，

即

。

例14 设

，求

（1）

的概率密度函数，

（2）

的概率密度函数。

分析：本题是连续型随机变量的函数分布，而且给出的函数

单调增，所以代入公式计算即可。

解：

（1）

的反函数为

，所以根据公式

  

，

其中

=

得


   。

（2）

的反函数为

，所以有

  

= 

，


。

 

 

from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap2.htm