51nod 锁屏密码
2016-02-24 12:29
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我们先特判掉n=1的情况,答案很好算,就是2^(m-1)。 用数学归纳法证明。 当m=1时,只有一种。当m>1时,设当k<m时答案是2^(k-1)成立。那么一种情况是可以由前面m-1个点全部连完了再连最后一个点这儿的方法数是2^(m-2)。还有一种情况是后面m-1个点先连,第一个点最后连,方法数是2^(m-2)。所以最后总的方法数是2^(m-1). 对于n>1,可以发现任选三点共线的概率不是很大,答案大概是(n*m)!的级别,由于答案小于2^63,可知总点数最大在20左右。 考虑状态压缩动态规划,我们用f[i][j][S]表示,当前走到了第i行第j列,已经走过的点的集合为的S方案数可以用小于2^(n*m)的自然数表示。 如果S=2^(n*m)-1,说明所有的点已经被走完,这是一个合法的方案,所以dp[i][j][S]=1。 否则,我们枚举要走的下一个点(i',j'),要满足(i',j')不在S中,并且(i,j)到(i',j')线段上的所有中间点S都在中,那么dp[i][j][S]就是所有合法的(i',j')的之和。 最后算答案。设第一个走的点是(i,j),那么方案数就是f[i][j][{(i,j)}]。把所有(i,j)的方案数加起来就是答案。 时间是2^(n*m)*(n*m)^2,可能会有压力,只需对于较大的数据预处理打表。
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