程序员面试题精选100题(43)-n个骰子的点数[算法]

题目：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。

分析：玩过麻将的都知道，骰子一共6个面，每个面上都有一个点数，对应的数字是1到 6之间的一个数字。所以，n个骰子的点数和的最小值为n，最大值为6n。因此，一个直观的思路就是定义一个长度为6n-n的数组，和为S的点数出现的次数保存到数组第S-n个元素里。另外，我们还知道n个骰子的所有点数的排列数6^n。一旦我们统计出每一点数出现的次数之后，因此只要把每一点数出现的次数除以n^6，就得到了对应的概率。

该思路的关键就是统计每一点数出现的次数。要求出n个骰子的点数和，我们可以先把n个骰子分为两堆：第一堆只有一个，另一个有n-1个。单独的那一个有可能出现从1到6的点数。我们需要计算从1到6的每一种点数和剩下的n-1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子还是分成两堆，第一堆只有一个，第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮单独骰子的点数相加，再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里，我们不难发现，这是一种递归的思路。递归结束的条件就是最后只剩下一个骰子了。

基于这种思路，我们可以写出如下代码：

int g_maxValue = 6;

void PrintSumProbabilityOfDices_1(int number)
{
if(number < 1)
return;

int maxSum = number * g_maxValue;
int* pProbabilities = new int[maxSum - number + 1];
for(int i = number; i <= maxSum; ++i)
pProbabilities[i - number] = 0;

SumProbabilityOfDices(number, pProbabilities);

int total = pow((float)g_maxValue, number);
for(int i = number; i <= maxSum; ++i)
{
float ratio = (float)pProbabilities[i - number] / total;
printf("%d: %f\n", i, ratio);
}

delete[] pProbabilities;
}

void SumProbabilityOfDices(int number, int* pProbabilities)
{
for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)
SumProbabilityOfDices(number, number, i, 0, pProbabilities);
}

void SumProbabilityOfDices(int original, int current, int value, int tempSum, int* pProbabilities)
{
if(current == 1)
{
int sum = value + tempSum;
pProbabilities[sum - original]++;
}
else
{
for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)
{
int sum = value + tempSum;
SumProbabilityOfDices(original, current - 1, i, sum, pProbabilities);
}
}
}

上述算法当number比较小的时候表现很优异。但由于该算法基于递归，它有很多计算是重复的，从而导致当number变大时性能让人不能接受。关于递归算法的性能讨论，详见本博客系列的第16题。

我们可以考虑换一种思路来解决这个问题。我们可以考虑用两个数组来存储骰子点数每一总数出现的次数。在一次循环中，第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数。那么在下一循环中，我们加上一个新的骰子。那么此时和为n的骰子出现的次数，应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6的总和。所以我们把另一个数组的第n个数字设为前一个数组对应的第n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6之和。基于这个思路，我们可以写出如下代码：

void PrintSumProbabilityOfDices_2(int number)
{
double* pProbabilities[2];
pProbabilities[0] = new double[g_maxValue * number + 1];
pProbabilities[1] = new double[g_maxValue * number + 1];
for(int i = 0; i < g_maxValue * number + 1; ++i)
{
pProbabilities[0][i] = 0;
pProbabilities[1][i] = 0;
}

int flag = 0;
for (int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)
pProbabilities[flag][i] = 1;

for (int k = 2; k <= number; ++k)
{
for (int i = k; i <= g_maxValue * k; ++i)
{
pProbabilities[1 - flag][i] = 0;
for(int j = 1; j <= i && j <= g_maxValue; ++j)
pProbabilities[1 - flag][i] += pProbabilities[flag][i - j];
}

flag = 1 - flag;
}

double total = pow((double)g_maxValue, number);
for(int i = number; i <= g_maxValue * number; ++i)
{
double ratio = pProbabilities[flag][i] / total;
printf("%d: %f\n", i, ratio);
}

delete[] pProbabilities[0];
delete[] pProbabilities[1];
}

    值得提出来的是，上述代码没有在函数里把一个骰子的最大点数硬编码(hard code)为6，而是用一个变量g_maxValue来表示。这样做的好处时，如果某个厂家生产了最大点数为4或者8的骰子，我们只需要在代码中修改一个地方，扩展起来很方便。如果在面试的时候我们能对面试官提起对程序扩展性的考虑，一定能给面试官留下一个很好的印象。

        本文已经收录到《剑指Offer——名企面试官精讲典型编程题》一书中，有改动，书中的分析讲解更加详细。欢迎关注。

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