面试题11:斐波那契数列(offer)
2015-12-15 10:55
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题目一:
写一个函数,输入n,求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项。斐波那契数列的定义如下:
0 n=0
f(n)= 1 n=1
f(n-1)+f(n-2) n>1
思路:
首先大家想到的肯定是直接用递归做,非常简单,但是有大量重复的工作,效率十分低。
由于要用到前面计算的结果,大家可能会想到动态规划(其实这不具有最优子结构,因为已经用数学公式描述好了),但是动态规划需要O(n)的额外空间。
仔细观察,我们发现只需存储前两个值即可。
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
题目二:
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上二级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
思路:
其实题目一将一种动态规划直接用公式给出来了,所以我说没有最优子结构。但是这题就有很明显的最优子结构。
比如青蛙跳5级台阶有DP[5]种跳法,跳6级台阶有DP[6]中跳法,那跳7级台阶显然就有DP[5]+DP[6]中跳法,就可以得到Fibonacci数列通式了。
实现代码和题目一相同。
需要说明的是,如果青蛙一次还可以跳三级台阶,那么递归通式变为DP
=DP[n-1]+DP[n-2]+DP[n-3]了。
拓展:
如果用一个2*1的矩阵(可以横着或竖着)去覆盖2*8的矩阵,共有多少种方法?
其实一样的。用f(8)表示2*8.
写一个函数,输入n,求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项。斐波那契数列的定义如下:
0 n=0
f(n)= 1 n=1
f(n-1)+f(n-2) n>1
思路:
首先大家想到的肯定是直接用递归做,非常简单,但是有大量重复的工作,效率十分低。
由于要用到前面计算的结果,大家可能会想到动态规划(其实这不具有最优子结构,因为已经用数学公式描述好了),但是动态规划需要O(n)的额外空间。
仔细观察,我们发现只需存储前两个值即可。
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
#include <iostream> #include <vector> #include <string> #include <stack> #include <algorithm> using namespace std; int fibonacci(int n) { if (n < 2) return n; int last = 1, llast = 0,now=0; for (int i = 2; i <= n; ++i) { now = last + llast; llast = last; last = now; } return now; } int main() { cout << fibonacci(5) << endl; return 0; }
题目二:
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上二级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
思路:
其实题目一将一种动态规划直接用公式给出来了,所以我说没有最优子结构。但是这题就有很明显的最优子结构。
比如青蛙跳5级台阶有DP[5]种跳法,跳6级台阶有DP[6]中跳法,那跳7级台阶显然就有DP[5]+DP[6]中跳法,就可以得到Fibonacci数列通式了。
实现代码和题目一相同。
需要说明的是,如果青蛙一次还可以跳三级台阶,那么递归通式变为DP
=DP[n-1]+DP[n-2]+DP[n-3]了。
拓展:
如果用一个2*1的矩阵(可以横着或竖着)去覆盖2*8的矩阵,共有多少种方法?
其实一样的。用f(8)表示2*8.
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