RMQ(Range Minimum Query)问题(转)
2015-11-14 20:19
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问题描述
RMQ问题是求给定区间中的最值问题。对于长度为n的数列A,回答若干查询RMQ(A, i, j)。返回数组A中下标在[i,j]里的最小值的下标。
比如数列 5,8,1,3,6,4,9,5,7那么RMQ(2,4) = 3, RMQ(6,9) = 6.
解决问题
最简单的解法时间复杂度是O(n),就是对于每一个查询遍历一遍数组。但是当n非常大的时候,并且查询次数非常多的时候,这个解决方案就不是那么高效了。
使用线段树(以后会讲)可以将时间复杂度优化到O(logn),通过在线段树中保存线段的最值。
不过本文将介绍一个解决RMQ最强大的算法,Sparse-Table算法。
Sparse-Table算法是一个在线算法,所 谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。 ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。
首 先是预处理,用动态规划(DP)解决。设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7,F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。 F[1,2]=5,F[1,3]=8,F[2,0]=2,F[2,1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样,DP的状态、初值都 已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一 段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。
然 后是查询。取k=[log2(j-i+1)],则有:RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明,要求区间[2,8]的最大值,总共2到8是7个元素,所以k=2,那么就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我 们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。
具体如下图所示:
算法伪代码
RMQ问题是求给定区间中的最值问题。对于长度为n的数列A,回答若干查询RMQ(A, i, j)。返回数组A中下标在[i,j]里的最小值的下标。
比如数列 5,8,1,3,6,4,9,5,7那么RMQ(2,4) = 3, RMQ(6,9) = 6.
解决问题
最简单的解法时间复杂度是O(n),就是对于每一个查询遍历一遍数组。但是当n非常大的时候,并且查询次数非常多的时候,这个解决方案就不是那么高效了。
使用线段树(以后会讲)可以将时间复杂度优化到O(logn),通过在线段树中保存线段的最值。
不过本文将介绍一个解决RMQ最强大的算法,Sparse-Table算法。
Sparse-Table算法是一个在线算法,所 谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。 ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。
首 先是预处理,用动态规划(DP)解决。设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7,F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。 F[1,2]=5,F[1,3]=8,F[2,0]=2,F[2,1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样,DP的状态、初值都 已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一 段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。
然 后是查询。取k=[log2(j-i+1)],则有:RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明,要求区间[2,8]的最大值,总共2到8是7个元素,所以k=2,那么就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我 们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。
具体如下图所示:
算法伪代码
//初始化
INIT_RMQ
//max[i][j]中存的是重i开始的2^j个数据中的最大值,最小值类似,num中存有数组的值
for
i: 1 ton
max[i][0] = num[i]
forj
: 1 to
log
(n)/
log
(2)
fori
: 1 to(n+1-2^i)
max[i][j] = MAX(max[i][j-1], max[i+2^(i-1)][j-1])
//查询
RMQ(i, j)
k =
log
(j-i+1) /
log
(2)
return
MAX(max[i][k], max[j-2^k+1][k])
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