面试题32：从1到n整数中1出现的次数

面试题32：从1到n整数中1出现的次数

题目描述：

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

题目分析：

直接的解法是，1~n的每一个整数都数一下1的个数，相加起来就是结果。显然，这样的解法还有优化的地方。

最后参考《编程之美》书中的给的解法，比《剑指offer》讲得清晰且更具有普遍性。

思路分析：

先将问题拓展普遍性，求1~n中X的出现次数，X∈[1, 9]。

首先：

从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。

从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。

从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10^i，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10^(i−1) 次。

举例验证，以 n=2593, X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据。

首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：

取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10^(i−1)，得到基础值 a。

取第 i 位数字，计算修正值：

如果大于 X，则结果为 a+10^(i−1);

如果小于 X，则结果为 a;

如果等 X，则取第 i 位右边所有的（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)。

代码如下：

class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
if (n == 0)
return 0;
int factor, count, low_num, cur_num, high_num;
factor = 1;
count = 0;
low_num = 0;
cur_num = 0;
high_num = 0;
while (n / factor) {
/* low_num是低位，表示剩余的数字 */
low_num = n - (n / factor) * factor;
/* cur_num是要求的位上的数字 */
cur_num = (n / factor) % 10;
/* high_num是高位的数字 */
high_num = n / (factor * 10);
switch(cur_num) {
case 0:
count += high_num * factor;
break;
case 1:
count += high_num * factor + low_num + 1;
break;
default:
count += (high_num + 1) * factor;
break;
}
factor *= 10;
}
return count;
}
};

参考：

[1] http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html

[2] 《编程之美》