单因素方差分析

单因素方差分析概念：

是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。

单因素方差分析步骤：

第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。 
第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。 
第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

单因素方差分析原理总结：

在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

随机在A、B、C三地抽取家蝇，测量翅膀长度，一共五十个样本，数字特征分别为μ1、μ2和μ3。问题：三地家蝇翅膀长度是否有差异？H0假设：μ1=μ2=μ3，即三地家蝇翅膀长度无显著差异；Ha假设：μ1，μ2，μ3不完全相等，即三地家蝇翅膀长度至少有一个与其他样地有显著差异，α=0.05。R代码和结果：

# 输入数据
site1 <- c(45, 44, 43, 47, 48, 44, 46, 44, 40, 45, 42, 40, 43, 46, 47, 45, 46, 45, 43, 44)
site2 <- c(45, 48, 47, 43, 46, 47, 48, 46, 43, 49, 46, 43, 47, 46, 47, 46, 45, 46, 44, 45, 46, 44, 43, 42, 45)
site3 <- c(47, 48, 45, 46, 46, 44, 45, 48, 49, 50, 49, 48, 47, 44, 45, 46, 45, 43, 44, 45, 46, 43, 42)
fly.survey <- data.frame(length = c(site1, site2, site3), site = factor(c(rep("1", 20), rep("2", 25), rep("3", 23))))
# 检查数据
options(digits = 3) # default value = 7
tapply(fly.survey$length, fly.survey$site, mean)
## 1 2 3
## 44.4 45.5 45.9
tapply(fly.survey$length, fly.survey$site, var)
## 1 2 3
## 4.56 3.26 4.48
boxplot(length ~ site, data = fly.survey, xlab = "Sites", ylab = "Length")

# Bartlett Test方差齐性检验（参数）

bartlett.test(length ~ site, data = fly.survey)
##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: length by site
## Bartlett's K-squared = 0.764, df = 2, p-value = 0.6825
# 单因子方差分析One Way ANOVA
fit <- aov(length ~ site, data = fly.survey)
summary(fit)
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## site 2 26.3 13.15 3.24 0.045 *
## Residuals 65 263.4 4.05
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
plot(fit)
单因子方差分析结果显示F value = 3.24 ，Pr(>F) = 0.045，因此拒绝H0假设，即认为三地家蝇翅膀长度在统计学上有显著差异。
转自：http://songchunlin.net/anova-with-r/