NYOJ 16 矩形嵌套(DAG上的DP)
2015-09-21 20:53
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矩形嵌套
描述有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转X90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不能嵌套在(3,4)中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行,使得除最后一个外,每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。
输入
第一行是一个正正数N(0<N<10),表示测试数据组数,每组测试数据的第一行是一个正正数n,表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)。随后的n行,每行有两个数a,b(0<a,b<100),表示矩形的长和宽。
样例输入
1
10
1 2
2 4
5 8
6 10
7 9
3 1
5 8
12 10
9 7
2 2
样例输出
5
【思路分析】
该题重点在于抽象的过程。矩形之间的嵌套关系实质上就是一个二元关系(类似于两个数之间的大小关系),二元关系可以用图来表示。嵌套关系是“有方向”的,而且这个嵌套关系没有对称性(题意明确说明),即建立的这个有向图是无环的,因此该题转换为求DAG上的最长路径问题。
首先根据各个矩形之间的长宽关系建立DAG,再用记忆化搜索将矩形i能嵌套的最多矩形数记录在数组d中,最后输出数组d中的最大值即可。
代码如下:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1005; int n,ans; int d[maxn];//记忆化数组,表示到顶点i的最长路径,即矩形i包含的最大矩形数 int DAG[maxn][maxn]; struct Rectangle { int length,width; }rectangle[maxn]; void creatGraph() { memset(DAG,0,sizeof(DAG)); for(int i = 0;i < n;i++) { for(int j = 0;j < n;j++) { if(rectangle[i].length > rectangle[j].length && rectangle[i].width > rectangle[j].width) { 4000 DAG[i][j] = 1;//矩形i包含矩形j,建立二元关系,即i到j的有向边 } } } } int dp(int i)//记忆化搜索 { int ans = d[i]; if(ans > 0) return ans; ans = 1; for(int j = 0;j < n;j++) { if(DAG[i][j]) { int temp = dp(j); ans = ans > (temp + 1) ? ans : (temp + 1); } } return d[i] = ans; } void init() { ans = 0; scanf("%d",&n); for(int i = 0;i < n;i++) { int a,b; scanf("%d %d",&a,&b); rectangle[i].length = a > b ? a : b; rectangle[i].width = a < b ? a : b; } creatGraph(); memset(d,0,sizeof(d)); } void solve() { for(int i = 0;i < n;i++) { int temp = dp(i); ans = ans > temp ? ans : temp; } printf("%d\n",ans); } int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { init(); solve(); } return 0; }
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