n个平面最多把空间分成几部分

题目描述

　　1、n条直线最多把平面分成几部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点）

　　2、n个平面最多把空间分成几部分？（ 这n个平面两两相交；没有三个以上的平面交于一点；这n个平面的交线任两条都不平行）

题目分析

　　1、我们设平面分成的部分是关于n条直线的一个函数f(n)。第n条直线可以被前n-1条直线分为n段，而每一段将它所在的平面一分为二，从而增加了n个平面。

　　f(n)=f(n-1)+n;

　　f(n-1)=f(n-2)+n-1;

　　…

　　f(3)=f(2)+3;

　　f(2)=f(1)+2;

　　f(1)=f(0)+1;

　　

　　等号左右两边相加得到f(n)=f(0)+1+2+…+n；而f(0)=1;所以，我们可以得到f(n)=(n²+n+2)/2；

　　2、我们同样设a(n)是空间有几部分关于n个平面的函数。第n+1个平面和其他的n个平面两两相交，最多形成n条相交直线，而这n条直线最大能分割成b(n)=(n²+n+2)/2个平面（因为1题所述），被分割的平面又把原来的空间一分为二，所以增加了b(n)个空间。

　　a(n+1)=a(n)+b(n)<==>a(n+1)-a(n)=b(n);

　　a(n)-a(n-1)=b(n-1);

　　a(n-1)-a(n-2)=b(n-2);

　　…

　　a(3)-a(2)=b(2);

　　a(2)-a(1)=b(1);

　　等号左右两边相加得到b(1)+b(2)+…+b(n-1)=a(n)-a(1);

　　经过变形：b(n)=(n²+n+2)/2;

　　b(1)+b(2)+…+b(n-1)=[1²+2²+…+(n-1)²+(1+2+3+…+n-1)+2(n-1)]/2;

　　根据平方和公式1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6;

　　最终得到：a(n)=(n3+5n+6)/6；