A Round Peg in a Ground Hole - POJ 1584 (判断凸多边形&判断点在多边形内&判断圆在多边形内)

题目大意：首先给一个圆的半径和圆心，然后给一个多边形的所有点（多边形按照顺时针或者逆时针给的），求，这个多边形是否是凸多边形，如果是凸多边形在判断这个圆是否在这个凸多边形内。

分析：判断凸多边形可以使用相邻的三个点叉积判断，因为不知道顺时针还是逆时针，所以叉积如果有有整数和负数，那么一定不是凸多边形（注意允许多多点在一条线段上）。判断圆在凸多边形首先要判断圆心是否在多边形内，如果在多边形内，再次判断圆心到达到变形每条边的最短距离，如果小于半径就是不合法。ps：一道好题，通过这个题学会了不少东西。

代码如下：
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#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1e3+7;
const double EPS = 1e-8;
const double oo = 1e10+7;

struct Point
{
double x, y;
Point(double x=0, double y=0):x(x),y(y){}
Point operator - (const Point &tmp)const{
return Point(x-tmp.x, y-tmp.y);
}
double operator ^(const Point &tmp)const{
return x*tmp.y - y*tmp.x;
}
double operator *(const Point &tmp)const{
return x*tmp.x + y*tmp.y;
}
};
double Dist(Point a, Point b)
{///两点间的距离
return sqrt((a-b)*(a-b));
}
int Sign(double t)
{
if(t > EPS)return 1;
if(fabs(t) < EPS)return 0;
return -1;///负数
}
struct Segment
{
Point S, E;
Segment(Point S=0, Point E=0):S(S), E(E){}
bool OnSeg(const Point &p)
{///点是否在线段上
if(Sign( (S-E)^(p-E) ) == 0)///共线
if(Sign( (p.x-S.x)*(p.x-E.x) ) <= 0)///位于线段的中间或者端点
if(Sign( (p.y-S.y)*(p.y-E.y) ) <= 0)
return true;
return false;
}
bool Inter(const Segment &tmp)
{///只考虑完全相交的情况
return Sign((S-E)^(tmp.S-E)) * Sign((S-E)^(tmp.E-E)) == -1;
}
Point NearPoint(const Point &p)
{///点到线段最近的点
Point res;
double r = ((E-S)*(p-S)) / ((E-S)*(E-S));

if(r > EPS && (1.0 - r) > EPS )
{///点在线段的投影在线段上
res.x = S.x + r * (E.x-S.x);
res.y = S.y + r * (E.y-S.y);
}
else
{///求离最近的端点
if(Dist(p, S) < Dist(p, E))
res = S;
else
res = E;
}

return res;
}
};
struct Poly
{
int N;
Point vertex[MAXN];

bool IsConvex()
{///判断是否是凸多边形，可以共线
int vis[3] = {0};
for(int i=0; i<N; i++)
{///如果同时出现整数和负数，说明存在凹的
int k = Sign((vertex[(i+1)%N]-vertex[i])^(vertex[(i+2)%N]-vertex[i]));
vis[k+1] = 1;

if(vis[0] && vis[2])
return false;
}
return true;
}
int InPoly(const Point &Q)
{///判断点Q是否在多边形内，射线法，奇数在内，偶数在外
///在圆上返回0， 圆外-1， 圆内 1
Segment ray(Point(-oo, Q.y), Q);///构造射线的最远处
int cnt=0;///统计相交的边数

for(int i=0; i<N; i++)
{
Segment edge(vertex[i], vertex[(i+1)%N]);

if(edge.OnSeg(Q) == true)
return 0;///点在边上

if(ray.OnSeg(vertex[i]) == true)
{///如果相交连接点，那么取y值小的点
if(vertex[(i+1)%N].y - vertex[i].y > EPS)
cnt++;
}
else if(ray.OnSeg(vertex[(i+1)%N]) == true)
{
if(vertex[i].y - vertex[(i+1)%N].y > EPS)
cnt++;
}
else if(ray.Inter(edge) && edge.Inter(ray))
cnt++;
}

if(cnt % 2)
return 1;
else
return -1;
}
};
struct Circle
{
Point center;///圆心
double R;///半径
};

bool Find(Poly &a, Circle &c)
{///判断圆是否在多边形内
if(a.InPoly(c.center) == -1)
return false;///如果圆心在多边形外面

for(int i=0; i<a.N; i++)
{
Segment edge(a.vertex[i], a.vertex[(i+1)%a.N]);
double len = Dist(c.center, edge.NearPoint(c.center));

if(Sign(len-c.R) < 0)
return false;
}

return true;
}

int main()
{
Poly a;///定义多边形
Circle c;///定义圆

while(scanf("%d", &a.N) != EOF && a.N > 2)
{
scanf("%lf%lf%lf", &c.R, &c.center.x, &c.center.y);
for(int i=0; i<a.N; i++)
scanf("%lf%lf", &a.vertex[i].x, &a.vertex[i].y);

if(a.IsConvex() == false)
printf("HOLE IS ILL-FORMED\n");
else if(Find(a, c) == false)
printf("PEG WILL NOT FIT\n");
else
printf("PEG WILL FIT\n");
}

return 0;
}