SPOJ COT2 Count on a tree II （树上莫队，倍增算法求LCA）

题意：给一个树图，每个点的点权（比如颜色编号），m个询问，每个询问是一个区间[a,b]，图中两点之间唯一路径上有多少个不同点权（即多少种颜色）。n<40000，m<100000。

思路：无意中看到树上莫队，只是拿来练练，没有想到这题的难点不在于树上莫队，而是判断LCA是否在两点之间的路径上的问题。耗时1天。

　　树上莫队的搞法就是：

　　（1）DFS一次，对树进行分块，分成sqrt(n)块，每个点属于一个块。并记录每个点的DFS序。

　　（2）将m个询问区间用所属块号作为第一关键字，DFS序作为第二关键字进行排序。

　　（3）转移都是差不多的，靠具体问题分析转移方式。

　　这题的搞法：

　　（1）点权可能过大，但是只有4万点权，所以映射到1~4w进行处理。

　　（2）DFS对树进行分块，标记dfs序，记录每个点的深度（倍增用）。

　　（3）LCA预处理，以及求LCA的函数。

　　（4）对m个询问进行排序。

　　（5）莫队开始搞起。

　　如何转移（抄别人的）：

　　（1）定义S(u,v)为u−v路径上的顶点集合，root表示根节点。

　　（2）S(u,v)=S(root,u)△S(root,v)△lca(u,v) (△表示集合中的对称差，相当于xor)

　　（3）定义T(u,v)=S(root,u)△S(root,v)，我们先不管lca的事情

　　（4）如果我们从u−v的路径变成u−v′的路径的话对答案有什么影响呢？

　　（5）根据定义我们可以得到T(u,v′)=S(root,u)△S(root,v′)

　　（6）T(u,v)△T(u,v′)=S(root,u)△S(root,v)△S(root,u)△S(root,v′)=S(root,v)△S(root,v′)=T(v,v′)。

　　也就是说，(a,b)要转移到(a,c)的话，将a点固定不动，b点逐个点走到c点就行了，肯定是将b走到Lca，c也走到Lca就行了。假设(a,b)路径上的点已经作了标记，只需要在走的时候，(b,c)路径上有标记的点就去掉，无标记的就加标记。

　　这样的做法理论上很容易理解，想起来不简单。因为当你走过a,b,c其中两个点的Lca时，你得想清楚这个Lca究竟要不要，而一共有3个Lca可以玩。当然如果某个点在(a,c)路径上，那么肯定是要的，所以任务就是判断这3个Lca是否在这段路径上。这才是难点！

　　虽然有很多种情况，但归类为3种：（1）单纯缩短 （2）单纯伸长 （3）先缩短+再伸长。

　　只要分这3类处理就OK了。而LCA(a,c)肯定是要的，这就可以利用了，判断LCA(b,c)是否在(a,c)上，可以根据从c走到LCA(b,c)遍历的点的顺序，是先到达LCA(a,c)还是LCA(b,c)？如果先到达LCA(b,c)，后达LCA(a,c)，则LCA(b,c)就要，否则就不要。同理这样判断LCA(a,b)要不要。

3500ms+

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int N=40010;

struct Que
{
int L, R, pos, ans;
Que(){};
Que(int L,int R,int pos):L(L),R(R),pos(pos){ans=0;};
};
int belongto
, dfn
, pre
, stac
, w
;
int depth
, anc
[32], inp
, cnt, bit[101000];
int n, m, block, block_cnt, stac_top, dfn_clock, up;
vector<int> vect
;
vector<Que> que;

void add_edge(int from,int to)
{
vect[from].push_back(to);
vect[to].push_back(from);
}
inline int cmp(Que a,Que b) //第一关键字：块。第二关键字：DFS时间戳。
{
if(belongto[a.L]==belongto[b.L])    return dfn[a.R]<dfn[b.R];
return belongto[a.L] < belongto[b.L];
}

inline int cmp1(Que a,Que b){return  a.pos<b.pos;}

void DFS(int x)     //树的分块。
{
dfn[x]=++dfn_clock; //dfs序
int cur=stac_top;
for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
{
int t=vect[x][i];
if(!dfn[t])
{
pre[t]=x;
depth[t]=depth[x]+1;        //深度
DFS(t);
if(stac_top-cur >= block)  //够block个就组
{
block_cnt++;
while(--stac_top>=cur)
{
int p=stac[stac_top];
belongto[p]=block_cnt;
}
stac_top++;             //栈顶必须为空
}
}
}
stac[stac_top++]=x;//栈
}

void pre_lca(int n) //倍增
{
memset(anc, 0, sizeof(anc));
for(int i=1; i<=n; i++) anc[i][0]=pre[i];   //0是他们自己的父亲。

for(int k=1; (1<<k)<=n; k++)    //第2的k次方个父亲。
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(anc[i][k-1])
{
int a=anc[i][k-1];
anc[i][k]=anc[a][k-1];
}
}
}
}

int LCA(int a,int b)
{
//提到同层
if(depth[a]<depth[b])   swap(a, b);
int log;
for(log=1; (1<<log)<=depth[a]; log++ );
log--;

for(int i=log; i>=0; i-- )      //一定要从大到小
if( depth[a]-(1<<i)>=depth[b] )
a=anc[a][i];

if(a==b)    return a;   //b就是lca

for(int i=log; i>=0; i--) //同时往上提。
{
if(anc[a][i] && anc[a][i]!=anc[b][i] )
{
a=anc[a][i];
b=anc[b][i];
}
}
return pre[a];
}

void deal(int x,int d)    //将值异或一下。
{
if(d==1)    //加上1个
{
if(bit[x])  bit[x]+=1;
else        bit[x]=1,cnt++;
}
else        //减去1个
{
bit[x]--;
if(bit[x]==0)   cnt--;
}

}

void backtofar(int ed,int lca)   //但是lca不碰
{
while( ed!=lca  )
{
inp[ed]*=-1;
deal(w[ed], inp[ed]);
ed=pre[ed];
}
}
void biyao(int x,int b)   //保证x在inpath上的状态必为b
{
if(inp[x]!=b)
{
inp[x]*=-1;
deal(w[x], inp[x]);
}
}

int update(int L,int s,int e,int lca,int lca2,int lca3) //将s转移到e
{
if(inp[e]==1)   //第一种:缩短
{
backtofar(s, lca);
backtofar(e, lca);
biyao(s, -1);
biyao(lca, -1); //s和e的LCA一定不要，若L到e经过了，那就肯定是他们的LCA，再补回来。
}
else            //其他两种
{
int ed, s_e=INF,L_s=INF, L_e=INF, Clock=1; //靠flag判断是：（1）伸长  （2）缩短+伸长
ed=s;
while( ed!=lca )  //lca先不碰
{
if(ed==lca)  s_e=Clock;
if(ed==lca3) L_s=Clock;
inp[ed]*=-1;    //取反
deal(w[ed], inp[ed]);
ed=pre[ed];
Clock++;
}

ed=e;
int s_e1=INF;
while( ed!=lca )  //lca先不碰
{
if(ed==lca)  s_e1=Clock;
if(ed==lca2) L_e=Clock;
inp[ed]*=-1;    //取反
deal(w[ed], inp[ed]);
ed=pre[ed];
Clock++;
}
if(ed==lca)  s_e1=Clock;
if(ed==lca2) L_e=Clock;

if(L_s>=s_e)     biyao(lca3, -1);
if(s_e1>=L_e)    biyao(lca, -1);

if(L_s<s_e)     biyao(lca3, 1);
if(s_e1<L_e)    biyao(lca, 1);
}
biyao(L, 1);
biyao(e, 1);
biyao(lca2, 1);
return cnt;
}

void cal(int n,int m)
{
for(int i=1; i<=n; i++) inp[i]=-1;  //初始，无妨问过.
DFS(1);             //分块
while(stac_top>=0)        //可能有余下的点，另开新块
{
int p=stac[stac_top--];
belongto[p]=block_cnt;
}
pre_lca(n);             //倍增处理lca
sort(que.begin(), que.end(), cmp);

int ans=0, L=1, R=1;    //先将L和R随便弄到一个区间上，比如(1,1)。
cnt=inp[1]=bit[w[1]]=1;
for(int i=0; i<que.size(); i++) //莫队
{
if(R!=que[i].R) ans=update(L, R, que[i].R, LCA(R, que[i].R), LCA(L,que[i].R), LCA(L,R) );        //左
R=que[i].R;
if(L!=que[i].L) ans=update(R, L, que[i].L, LCA(L, que[i].L), LCA(R,que[i].L), LCA(L,R) );        //右
L=que[i].L;
que[i].ans=ans;
}
sort(que.begin(), que.end(), cmp1);     //输出
for(int i=0; i<que.size(); i++)    printf("%d\n", que[i].ans);
}

map<int,int> mapp;
void init()
{
block=sqrt(n);
dfn_clock=block_cnt=stac_top=up=0;
mapp.clear();
que.clear();
for(int i=0; i<=n; i++)    vect[i].clear();
memset(bit, 0, sizeof(bit));
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(pre, 0, sizeof(pre));
memset(depth, 0, sizeof(depth));
}
int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
int  a, b, t;
while(cin>>n>>m)
{
init();
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d", &t);        //点权
if(mapp[t]==0)  mapp[t]=++up;   //映射为小一点的值。
w[i]=mapp[t];
}
for(int i=1; i<n; i++)      //树边
{
scanf("%d%d",&a,&b);
add_edge(a, b);
}
for(int i=0; i<m; i++)      //询问
{
scanf("%d%d",&a,&b);
que.push_back(Que(a,b,i));
}
cal(n,m);
}
return 0;
}

AC代码