hihoCoder #1151 : 骨牌覆盖问题·二 （矩阵快速幂，DP）

题意：给一个3*n的矩阵，要求用1*2的骨牌来填满，有多少种方案？

思路：

　　官网题解用的仍然是矩阵快速幂的方式。复杂度O(logn*83)。

　　这样做需要构造一个23*23的矩阵，这个矩阵自乘n-1次，再来乘以初始矩阵init{0,0,0,0,0,0,0,1}后，变成矩阵ans{x,x,x,x,x,x,x,y}，y就是答案了，而x不必管。

　　主要在这个矩阵的构造，假设棋盘是放竖直的（即n*3），那么考虑在第i行进行填放，需要考虑到第i-1行的所有可能的状态（注意i-2行必须是已经填满了，否则第i行无法填到i-2行去）。放的时候有个规则，就是所放的每块1*2的骨牌，必须放有一半以上是在第i行的，而且不允许放到第i+1行去。其实就是根据3种选择来考虑变换，（1）不放（2）放横（3）放竖。

　　下图假设即将填第i+1行。

#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+2;
const int mod=12357;
int M[8][8]={0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,0,0,0,0,1,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,1,
0,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,1,0,0,0,0,0,
0,1,0,0,0,0,0,1,
1,0,0,1,0,0,1,0};  //初始矩阵M

int init[8]={0,0,0,0,0,0,0,1};  //初始状态
int tot[8][8], cur[8][8], grid[8][8];   //临时的矩阵

void mul(int A[][8],int B[][8]) //处理两个8*8的矩阵相乘，并保存到A中
{
for(int i=0; i<8; i++)
{
for(int j=0; j<8; j++)
{
int tmp=0;
for(int k=0; k<8; k++)
{
tmp+=A[i][k]*B[k][j];
tmp%=mod;
}
grid[i][j]=tmp;
}
}
memcpy(A, grid, sizeof(grid));
}

int cal(int n)
{
memcpy(tot, M, sizeof(M));
memcpy(cur, M, sizeof(M));
n--;    //tot已经是2^0了，所以自减1.
while(n)
{
if(n&1==1)    mul(tot, cur);   //末位为1时，累乘到tot中
mul(cur, cur);                 //翻倍
n>>=1;
}
return tot[7][7];
}

int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
int n;
while(~scanf("%d",&n))    printf("%d\n", cal(n));
return 0;
}

AC代码

　　还有一种方案仅需0ms。即递推，这个需要研究一下递推式，考虑各种情况的变化。不写了。