大数据算法学习笔记(五):生成树权重

1、问题：无向简单图，求最小生成树的权重。

精确解：prime、kruskal

2、亚线性算法基本思想：用特定子图联通分量的数量估计MST的权重。

假设某个无向图中所有边的权重都是1或者2，求MST的权重。

则其MST的权重=N1+N2（N1：MST中权重至少为i的边的数量）

显然N1=n-1，n为顶点数。

而N2为权重为1的边构成的导出子图的联通分量个数-1，即把MST中边权为2的边去掉后，形成若干个联通分量，将每个联通分量视为1个点，再将去掉的边加入，则形成一个新的树，其边数即为联通分量个数-1.

接下来考虑一般情况：

设Gi：G中包含所有权重小于i的边的子图。

Ci：Gi中的联通分量个数

最小生成树权重大于i的边数为Ci -1

那么W(G)=n-w+sigma(Ci) (i=1~w-1)

n是顶点数、w是边的最大权值

于是，问题转为求连通分量个数。

3、连通分量个数的估计

方法：随机化

运行时间和n无关。

设C是连通分量个数。n(u)为结点u所在连通分量的结点个数。

对于连通分量A，其中所有顶点的n(u)的倒数之和为1。

因此所有顶点的n(u)的倒数之和为C

于是可以通过抽样顶点的n(u)来估计这个和。

如果u所在连通分量中的点很少，可以用BFS来求。

如果u所在联通分量中的点很多，即1/n(u)很小，说明对和的贡献很小。

那么就可以考虑在限定步数之内完成BFS，若完成不了，则舍弃，因为其对于结果贡献非常小。

误差：令n(u)'=min(n(u),2/ε)

当n<2/ε时，n(u)'=n(u)；否则n(u)'=2/ε，0<1/(n(u)')-1/(n(u))<1/n(u)'=ε/2

由于C'=sigma(1/(n(u)')

则|C'-C|=sigama(1/(n(u)')-1/(n(u))<=n*ε/2

算法如下：

1、抽样个数:和1/ε^2同阶

2、随机选择点u，从u开始BFS，将顶点序列放到序列L中，当完成BFS或者L=2/ε时停止，将L的大小作为n(u)的估计值

3、N=N+n(u)'

4、返回C'=s/N*n ,平均值*n作为对整体的估计值。

运行时间：O(d/ε^3*log(1/ε)